Bessel-Functions-Rechner

原理：贝塞尔方程 x²y″ + xy′ + (x² − ν²)y = 0 的第一类解为 J_ν(x) = Σ (−1)^k (x/2)^(2k+ν) / (k!·Γ(k+ν+1))。它在柱对称波动里无处不在：鼓面振动、圆柱体的热传导、天线辐射与调频信号（贝塞尔滤波器）。J_ν 是衰减振荡——振幅约 √(2/(πx))，零点间距渐近 π。递推关系 J_{ν+1}(x) = (2ν/x)·J_ν(x) − J_{ν−1}(x) 让低阶值生成高阶值；整数阶可由生成函数 exp((x/2)(t − 1/t)) 展开。

步骤：输入阶数 ν 与自变量 x，工具用 200 项级数 + Kahan 补偿求和计算 J_ν(x)，x = 0 按定义返回 1（ν = 0）或 0。

示例：J₀(0) = 1.000000000000；J₀(1) = 0.765197686558；J₁(1) = 0.440050585745；J₀(2) = 0.223890779141；J₀(5) = -0.177596771314（已越过首个零点 2.4048）；J₁(5) = -0.327579137591；J₂(3) = 0.486091260586；J₄(1) = 0.002476638964。

注意事项：ν 限 0–10 整数（半整数阶 J_{1/2}(x) = √(2/(πx))·sin x 有初等闭式，参见伽马函数工具）；|x| 超过 40 后级数出现灾难性相消，大参数请用渐近公式；J_ν 的零点非周期（首个零点 J₀ ≈ 2.4048），鼓膜频率比 1 : 1.59 : 2.14… 由此而来；第二类贝塞尔 Y_ν 在 x = 0 处奇异，本工具不含。

相关：傅里叶系数工具是直角坐标下的波动分解；伽马函数工具给出非整数阶的定义基础；复数工具连接汉克尔函数 e^(iθ) 形式；弧长与曲率工具处理同类圆柱几何。