数学计算器
共 1187 个免费在线工具
从四则运算到微积分，两百多个工具覆盖中小学到大学的常备计算。科学计算器支持三角、对数与乘方开方的键盘直输；方程与因式分解给出判别式、配方法和十字相乘的完整过程；统计模块从均值方差到假设检验，每个结果都附计算步骤而非只给一个数。
数论与矩阵、概率与数列各成一组，罗马数字、进制转换和科学记数法也在其中。所有整数运算按精确口径处理，不引入浮点误差。
本分类最受欢迎
科学计算器免费在线科学计算器：三角函数与反三角（DEG/RAD/GRAD 三角度制，特殊角精确显示）、对数与指数、乘方开方、阶乘（支持 0.5! 小数阶乘）、排列组合 nPr/nCr、括号与运算优先级、隐式乘法与 Ans 引用，键盘直输表达式实时预览，历史记录本机保存。百分比计算器七种百分比算法集中在一个输入框：求占比、求百分比对应的值、计算增减幅度、加减百分比、已知部分和占比反求整体、两数百分比差异、百分点与相对变化换算，结果附比例条与倍数表达。分数计算器免费在线分数计算器：分数加减乘附带完整通分步骤，约分化简展示辗转相除过程，小数与分数互转支持循环节标注（0.(3) = 1/3），两个分数交叉相乘比大小，配饼图与数轴图示。标准差计算器免费在线标准差计算器：粘贴数据集，一次算出均值、中位数、众数、极差、方差与标准差（样本/总体双口径）、标准误、变异系数与四分位数，配直方图（±1σ/±2σ 区间带）与箱线图（1.5×IQR 异常值检测）。最大公约数与最小公倍数计算器免费在线最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）计算器：支持 2–10 个正整数，质因数分解、辗转相除、枚举约数三种方法并列，配质因数维恩图与倍数相遇数轴，附约分通分与平均分配应用。排列组合计算器计算排列 P(n,k) 与组合 C(n,k)（含可重复排列与可重复组合四套公式），BigInt 精确运算支持 300 位大数；中奖概率模式支持主池+副池规则（双色球/大乐透预设），给出单注概率、买 N 注覆盖概率、超几何概率与期望年限；小规模输入可全量列举方案，附公式代入过程与数量级对比条。
基础运算
四则、分数、比例与百分比，日常计算的地基，每一步都给过程。
普通计算器免费在线基本计算器：加减乘除、平方根、平方、倒数、百分比与记忆键（MC/MR/M+/M−），大数千分位显示，连按等号重复上一步运算，键盘可直接输入，最近 8 条历史自动保存在本机并可点击回填。百分比计算器七种百分比算法集中在一个输入框：求占比、求百分比对应的值、计算增减幅度、加减百分比、已知部分和占比反求整体、两数百分比差异、百分点与相对变化换算，结果附比例条与倍数表达。分数计算器免费在线分数计算器：分数加减乘附带完整通分步骤，约分化简展示辗转相除过程，小数与分数互转支持循环节标注（0.(3) = 1/3），两个分数交叉相乘比大小，配饼图与数轴图示。比例计算器免费在线比例计算器：比例化简（小数比转整数比）、求第四项（比例方程 A:B=C:x）、按比例分配（最大余数法分钱分毫不差）、稀释配比（C₁V₁=C₂V₂）、比例尺换算五大模式，附分段比例条可视化与完整计算过程。长除法计算器长除法计算器在线演示完整竖式：商与余数、循环小数括号标注、分数约分与验算回代，支持小数除法与 30 位大数精确运算；另有除法验算一键查错、取余与快速幂取模（aⁿ mod m）、星期推算。最大公约数与最小公倍数计算器免费在线最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）计算器：支持 2–10 个正整数，质因数分解、辗转相除、枚举约数三种方法并列，配质因数维恩图与倍数相遇数轴，附约分通分与平均分配应用。比例计算器比例求解 a:b = c:x，输入已知三项自动求第四项，附交叉相乘验证。数值舍入计算器四舍五入、向上取整、向下取整与银行家舍入四种模式在线对比，支持指定小数位数。百分点计算器计算两个百分比之间的百分点差与相对变化幅度，分清「百分点」与「百分比」两种口径。目标达成率计算器输入目标值与当前完成值，计算达成率、剩余量与剩余比例，销售、储蓄、减脂打卡通用。百分差计算器以两数平均值为基准计算百分差，适用于没有「先后新旧」之分的对称比较场景。翻倍时间计算器按复合增长率计算翻倍、减半或任意倍数所需的时间，附 72 法则估算与精确核验。
代数与方程
一元二次与方程组，判别式、配方法与因式分解，附验根说明。
科学计算器免费在线科学计算器：三角函数与反三角（DEG/RAD/GRAD 三角度制，特殊角精确显示）、对数与指数、乘方开方、阶乘（支持 0.5! 小数阶乘）、排列组合 nPr/nCr、括号与运算优先级、隐式乘法与 Ans 引用，键盘直输表达式实时预览，历史记录本机保存。二次方程计算器输入 a、b、c 三个系数，自动求解一元二次方程 ax²+bx+c=0：判别式、精确根式（含 √ 化简与分数形式）、复根、顶点式与最值、因式分解（含分数根整数因子形式）、带对称轴与刻度的抛物线图像，以及完整求解与配方步骤；a=0 自动按一次方程求解。方程求解器免费在线方程求解器：一元方程支持一次到三次精确求解与数值近似，给出根式化简与复根精确形式；线性方程组支持二元、三元，逐步消元并判定唯一解、无解或无穷多解；等号左右分别录入，自动识别方程类型并输出完整求解过程。导数计算器免费在线导数计算器：输入函数表达式与求导点，自动求导并给出导函数表达式、函数值、导数值与切线方程，展示链式法则、乘积法则等逐步推导过程，支持三角函数、指数、对数与复合函数。定积分计算器免费在线定积分计算器：输入被积函数与积分上下限，自动判断解析解（牛顿–莱布尼茨公式）或数值解（Simpson 自适应分片），给出原函数表达式、精确值与近似值，支持三角函数、指数、对数与常数 π、e 作为上下限。极限计算器免费在线极限计算器：输入函数与趋近点，自动选择直接代入、因式分解约简、等价无穷小替换、洛必达法则、最高次项法则或 1^∞ 型幂指函数专用方法求解，给出完整步骤与左右极限数值逼近表，支持趋近于无穷与极限不存在的判定。泰勒级数计算器免费在线泰勒级数计算器：输入函数、展开点与阶数（1–10 阶），符号求导自动给出泰勒多项式各项系数（精确分数形式）、完整导数链步骤、拉格朗日余项误差上界、六个测试点的实际误差对照表与函数-多项式逼近图像，内置 sin、cos、eˣ、ln(1+x) 等常用展开预设。微分方程求解器在线一阶微分方程求解器：自动识别可分离变量、一阶线性、伯努利与齐次方程四种类型，输出通解与逐步求解过程，支持初值条件求特解，附方向场图与解曲线族可视化。平方根计算器平方根计算器：整数/小数/分数一键开方，√72 自动精确化简为 6√2 而非 8.4853；完全平方数识别 + 手开平方竖式逐步演示（全网独家）；任意次根支持负数奇次根与提因子化简；根式化简含分母有理化、(a+√b)² 展开与平方差；根式四则自动合并同类项；估算模式给出整数夹逼、牛顿迭代与连分数周期展开。对数计算器免费在线对数与指数计算器：对数三向互求（求对数/反求底数/反求真数）附换底公式逐步推导与函数图像，幂运算整数路径 BigInt 精确到个位、负指数与分数指数附含义解读，指数方程换底法求解附 72 法则对照；内置半衰期、里氏震级、pH 酸碱度、分贝四大对数尺度应用。数列计算器免费在线数列计算器：等差数列与等比数列四向互求（通项、求和、由和反求项数、由两项反推公差公比），整数路径 BigInt 精确计算棋盘麦粒级大数，负公比双解完整讨论，收敛等比附无穷和；内置自然数和/平方和/立方和/奇偶数和五大公式正反倒推，年均增长率（CAGR）知二求一附翻倍年数与 72 法则。阶乘计算器在线阶乘计算器：BigInt 精确计算最大 5000! 的全部位数字，支持双阶乘、错排数、阶乘除法与末尾零计算，附素因数分解、Stirling 近似对照、增长曲线与逐步推导过程。
统计
均值、方差与标准差等描述统计，给出计算过程而不只给结果。
标准差计算器免费在线标准差计算器：粘贴数据集，一次算出均值、中位数、众数、极差、方差与标准差（样本/总体双口径）、标准误、变异系数与四分位数，配直方图（±1σ/±2σ 区间带）与箱线图（1.5×IQR 异常值检测）。Z 分数计算器Z 分数计算器：原始分与 z 分数双向互算，正态分布左尾/右尾/双尾/区间概率与分位数反查（Φ 与 Φ⁻¹ 精确计算），IQ、T 分数、标准九分、标准二十分、百分位六种标尺互转，附样本均值标准误与置信区间计算，全曲线可视化标注。平均数计算器在线平均数计算器：算术平均、几何平均、调和平均、均方根、中位数、众数一次算齐，支持加权平均、截尾平均、平均速度（等距/等时/分段）与平均增长率（几何平均真实年化），附均值不等式链、权重占比条与逐步计算过程。样本量计算器样本量计算器：按比例与均值两口径反推调查所需样本量（含有限总体校正与小样本 t 临界值迭代），Wilson 精确法求比例置信区间并附 Wald 对照，按已有样本量反查误差范围附六档规模对照梯，支持 90%–99% 置信度，结果附取整后实际误差复核与代入步骤。p 值计算器支持 Z（正态）、t、χ²（卡方）、F 四种分布的 p 值计算，左尾/右尾/双尾三种检验方向任选，内置自由度输入与显著性水平对比，附分布曲线阴影面积可视化与拒绝域判定，覆盖假设检验全部主流场景。置信区间计算器计算总体均值（σ已知/未知）与总体比例的置信区间，支持 90%/95%/99% 三档置信水平，输出区间上下限、误差范围、临界值（z/t）、标准误，附正态密度曲线与区间可视化。方差计算器总体方差与样本方差在线计算：输入数据组，输出均值、方差、标准差与逐步计算过程。百分比误差计算器测量值与真实值的百分比误差在线计算，附绝对误差与相对误差对照。在线单因素方差分析计算器输入 2～4 组数据，自动完成单因素方差分析：输出组间/组内平方和、自由度、均方、F 统计量与 p 值和 η² 效应量。在线 F 检验计算器输入两组数据，用 F 检验比较方差是否相等：输出两组方差、F 统计量、双侧 p 值与自由度，方差分析/t 检验前置检验一步完成。协方差计算器输入两组成对数据，计算样本协方差与皮尔逊相关系数，支持总体/样本口径切换，一次看清两个变量的联动方向与强度。在线偏度计算器输入一组数据，计算偏度（skewness）与超额峰度（excess kurtosis），量化分布的不对称性与尾部厚度，附正态性判断参考。
时间序列
环比与同比增长率、移动平均，判断趋势方向与幅度。
数论与记数
质因数分解、最大公约数与进制转换，数论入门常备。
质因数分解计算器在线质因数分解与素数工具：任意整数分解为质因数幂次乘积并生成因子树，素数判定支持 19 位大整数（Miller-Rabin 确定性检验），附约数个数、约数和、欧拉函数、素数表、哥德巴赫拆分、完全数与梅森素数等数论全家桶。罗马数字转换器罗马数字转换器：数字与罗马数字双向互转（1 ~ 3,999,999，含 vinculum 上划线大数记法），严格校验非法写法并定位第一条错因，支持罗马数字加减法、年份速查与对照表，附逐字母分解步骤与钟表 IIII 惯例说明。科学记数法计算器科学记数法计算器：普通数字与科学记数法/E 记法/工程记数法/中文大数（万·亿·万亿）互转，有效数字逐位判定（前导零、中间零、尾随零规则），按位数四舍五入/银行家舍入/截断三种取舍，科学记数法四则运算并按有效数字规则取舍结果，全部附计算步骤与数量级数轴。有效数字计算器判定任意数字的有效数字位数（逐位高亮标注），支持舍入到指定位数与四则运算自动取舍（乘除看位数、加减看位权），附判定规则说明与科学记数法输出。组合排列计算器组合 C(n,r) 与排列 P(n,r) 在线精确计算：BigInt 大整数内核，支持 n 至 10000，附公式与展开步骤。斐波那契计算器斐波那契数列在线计算：精确输出前 N 项，BigInt 内核支持 200 项，附黄金分割比收敛。二进制计算器二进制数加减乘除与位运算在线计算：支持 AND/OR/XOR/NOT，附十进制与十六进制对照。十六进制计算器十六进制数加减乘除与位运算在线计算：支持 0x 前缀输入，附十进制与二进制对照。数字根计算器反复将各位数字求和直至剩一位数，附完整步骤；数字根与模 9 同余的秘技。三角数计算器计算第 n 个三角数 T(n) = n(n+1)/2，判定任意数是否为三角数，列出三角数序列。完全平方数判定器判定整数是否为完全平方数，给出平方根或相邻平方数定位与个位特征分析。完全立方数判定器判定整数是否为完全立方数，支持负数，给出立方根或相邻立方数定位。
三角与解析几何
正余弦定理、两点距离与坐标变换，角度制与弧度制可切。
三角函数计算器三角函数计算器：sin/cos/tan/cot/sec/csc 六函数同显，特殊角精确值与象限定号，附单位圆示意；反三角函数主值与 [0°,360°) 全解；解直角三角形知二求五含 SOH CAH TOA 步骤；角度弧度互转；经典 7 角与黄金 4 角精确值全表。斜率计算器斜率计算器：两点求斜率（含倾斜角、坡度百分比、中点与距离），斜率加点生成斜截式/点斜式/一般式/截距式四种直线方程，一般式互转并化简，过点作平行线与垂直线，两直线交点求解（平行/重合判定），点到直线距离与垂足，全部附代入步骤与坐标系示意图。函数图像计算器免费在线函数图像计算器：输入表达式立即出图，最多 6 条曲线同屏对比，自动标注零点、交点与极值，支持拖拽平移、滚轮缩放与十字线读数，涵盖三角函数、指数、对数与复合函数。中点计算器输入两点坐标，求线段中点、两点距离与连线斜率，解析几何基础三件套一步算完。端点计算器已知线段一端点与中点，反求另一端点坐标，附代入验算。空间距离计算器计算三维空间中两点的直线距离，附 XY 平面投影距离与各轴坐标差。曼哈顿距离计算器计算两点沿坐标轴方向的曼哈顿距离（L1 距离），支持任意维度，附欧氏距离对比。向量计算器计算两个向量的和、差、模长、点积与夹角，支持任意维度（分量用空格分隔）。点积计算器计算两向量的点积（内积）与夹角，判断同向、垂直或反向的方向关系。叉积计算器计算三维向量的叉积（向量积），结果为垂直于两向量的新向量，模长等于平行四边形面积。极坐标转换极坐标 (r, θ) 与直角坐标 (x, y) 双向互转，含模长与方位角计算。
线性代数
行列式、逆矩阵与特征值，适合课程验算与小规模矩阵。
应用题
行程、工程、浓度与年龄问题的设元列式示范。
工程问题计算器工程合作问题计算器：按各人单独完工时间求合作完工时间，支持两至三人合作，显示各自效率与验证公式。水池进出水计算器水池进出水问题计算器：进水管与排水管同时开启求注满时间，自动判断永远注不满的情形并换算小时分钟。相遇追及过桥计算器行程问题计算器：相向相遇、同向追及、火车过桥三类模型，自动计算相遇/追及时间、各自行程与过桥秒数。时钟角度计算器时钟角度计算器：计算任意时刻时针与分针的夹角，显示两针各自角度与两侧角度，支持 24 小时制输入。平均速度计算器平均速度计算器：等距离往返用调和平均、多段路程按总路程÷总时间，明确提示「算术平均」常见错误。年龄问题计算器年龄问题计算器：和差、差倍、比例三类经典年龄应用题，抓住「年龄差不变」核心，含公式与答案。比例尺计算器比例尺计算器：图上距离与实际距离互算、反求比例尺，支持千米/米单位换算与面积比例推算，适合地图与图纸作业。
几何进阶
弓形、扇形与旋转体的组合图形，面积体积逐块拆解。
黄金分割计算器按黄金比例 φ≈1.618 分割线段，计算较长段与较短段长度，应用于设计与美学构图。圆的弦长计算器已知圆半径与弦心距（或弦长）求另一量，基于垂径定理的弦长快速计算。圆周角计算器利用「同弧所对圆周角等于圆心角一半」定理，计算圆周角或圆心角度数。多边形对角线条数计算器计算 n 边形的对角线总数与每个顶点引出的对角线条数，附组合数推导。多边形内角计算器计算 n 边形内角和 (n−2)×180°、正多边形每个内角与外角，支持由外角反推边数。三角形高线计算器已知三角形三边，先用海伦公式求面积，再分别计算三条高线长度。海伦公式计算器输入三角形三边长，用海伦公式 S=√[p(p−a)(p−b)(p−c)] 直接计算面积。余弦定理计算器已知两边及夹角求第三边（SAS），或已知三边反求任意角，余弦定理双模式计算。正弦定理计算器用正弦定理 a/sinA=b/sinB 解三角形：已知两角一边求其余边角，含 SSA 歧义提示。三角形全解计算器输入三角形任意三个已知量（至少一边），自动选择正弦/余弦定理解出全部边与角。三角形四心计算器已知三边求外接圆半径 R、内切圆半径 r，以及重心、垂心等四心性质计算。三角形中线长计算器用中线公式 ma=½√(2b²+2c²−a²) 由三边计算三条中线长度。
代数进阶
韦达定理、十字相乘与多项式展开，含判别式分析。
一元三次方程计算器求解 ax³+bx²+cx+d=0：有理根扫描 + 二次公式降次，输出三个实根或复根。多项式除法计算器多项式长除法：输入被除式与除式系数，输出商式与余式，含逐步运算过程。综合除法计算器综合除法快速计算多项式除以一次式 x−a 的商与余数，输出完整运算表。部分分式分解计算器把真分式 (px+q)/[(x−a)(x−b)] 拆成 A/(x−a)+B/(x−b)，用留数法求待定系数。一元二次不等式计算器求解 ax²+bx+c>0（或 <0、≥0、≤0），给出区间表示的完整解集与数轴分析。绝对值方程计算器求解 |ax+b|=c 型绝对值方程，输出全部实数解与几何意义说明。根式方程计算器求解 √()= 型根式方程，平方后解整式方程并自动检验增根。指数方程计算器求解 a^x=b 型指数方程：同底化简或对数求解，输出精确解与数值解。对数方程计算器求解 log_a(x)=b 型对数方程：化为指数式 x=a^b，含定义域检验。三元一次方程组计算器高斯消元法求解三元一次方程组：输入 3×4 增广系数，输出 x、y、z 唯一解或判定。多项式求值计算器秦九韶算法（霍纳法则）求多项式在指定点的值：n 次多项式只需 n 乘 n 加。笛卡尔符号法则计算器用笛卡尔符号法则判断多项式正根、负根个数：数系数变号次数即可。
数列与级数
等差等比的通项与求和，递推关系写明推导。
统计进阶
四分位距、变异系数与相关系数等进阶描述指标。
二项分布正态近似计算器n 大时用正态分布 N(np,npq) 近似二项概率，带连续性校正的精确计算。切比雪夫不等式计算器切比雪夫不等式：任意分布中至少 1−1/k² 的数据落在均值 k 个标准差内。经验法则计算器正态分布 68-95-99.7 法则：计算均值 ±1/2/3 个标准差的区间与对应比例。决定系数 R² 计算器计算一元线性回归的决定系数 R² 与相关系数 r，衡量回归方程的拟合优度。调整 R² 计算器计算调整后决定系数：对自变量个数施加惩罚，防止过拟合造成的虚假高 R²。残差计算器计算线性回归各点的残差 e=y−ŷ，输出残差表、残差平方和与模型诊断指标。预测区间计算器计算回归预测的均值置信区间与个别值预测区间：t 分布 × 标准误。全因子试验设计计算器计算 2^k 全因子试验的运行次数、主效应与交互效应数量，DOE 试验规划。条件概率计算器条件概率 P(A|B)=P(A∩B)/P(B) 计算，含独立性检验与乘法公式双向换算。生日悖论计算器计算 n 个人中至少两人生日相同的概率：23 人即超 50%，反直觉的概率经典。
数论进阶
同余、欧拉函数与模运算，算法竞赛常用结论。
素数间隙计算器分析 n 以内素数的间隙分布：最大间隙、平均间隙与间隙记录。孪生素数计算器枚举 n 以内所有孪生素数对（相差 2 的素数对），含计数与密度分析。哥德巴赫猜想验证器把任意偶数分解为两个素数之和，列出全部分解方式——验证哥德巴赫猜想。约数个数计算器由质因数分解 n=∏p^a 计算约数个数 ∏(a+1)，输出全部约数与约数和。原根计算器求素数 p 的最小原根：阶为 p−1 的生成元，密码学 Diffie-Hellman 的数学基础。二次剩余计算器计算勒让德符号 (a/p)：判断 a 是否为模 p 的二次剩余，欧拉准则与互反律。佩尔方程求解器求解佩尔方程 x²−Dy²=1 的最小正整数解：连分数展开法自动计算。法里数列计算器生成 n 阶法里数列：0 到 1 之间分母 ≤n 的全部最简分数，按大小排列。
数值方法
牛顿迭代、数值积分与插值，工程近似计算。
牛顿迭代法计算器牛顿法求方程近似根：x(n+1)=x−f(x)/f′(x)，展示迭代过程与收敛速度。二分法求根计算器二分法求方程根：在 [a,b] 上不断缩半，f(a)f(b)<0 必收敛，展示迭代过程。梯形法则计算器梯形法则数值积分：h/2·(f₀+2f₁+…+2f(n−1)+fₙ)，含误差阶与加密对比。辛普森法则计算器辛普森法则数值积分：h/3·(f₀+4f₁+2f₂+…+fₙ)，O(h⁴) 精度的工程标配。欧拉法计算器欧拉法求 dy/dx=f(x,y) 初值问题：y(n+1)=y+h·f，展示逐步推进过程。四阶龙格-库塔计算器RK4 求常微分方程初值问题：四重斜率加权，O(h⁴) 精度的工程标准方法。
矩阵分解
LU 与 SVD 分解、伪逆，线性代数深化内容。
推断统计与检验
t 检验、卡方与置信区间，输出统计量与临界值对照。
临界值计算器输入分布类型、自由度与置信水平，一键查出 t、Z、卡方、F 四大分布的临界值，假设检验与置信区间查表不再翻书。误差范围计算器按比例口径或均值口径计算抽样误差范围（MoE），支持有限总体修正，民调与问卷结论立刻有了置信标尺。假设检验计算器输入样本均值、总体均值、标准差与样本量，自动完成 Z 检验或 T 检验：给出检验统计量、P 值、临界值与拒绝/不拒绝的判定结论，支持双侧与单侧检验、0.01/0.05/0.10 三档显著性水平。A/B 测试计算器输入两组访客数与转化数，双样本比例 z 检验判定 A/B 测试显著性，输出提升率与置信区间方向。邦费罗尼（Bonferroni）校正计算器输入原显著性水平 α 与检验次数 m，计算 Bonferroni 校正后的每检验阈值 α/m；反向模式输入观察 p 值与检验次数，输出校正后 p 值（p×m）与是否显著的判读，控制族错误率 FWER。中心极限定理计算器输入总体均值标准差与样本量，直出样本均值的标准误与 z 分数，并给出样本均值落在某值上下的概率，理解抽样分布一步到位。标准误计算器按样本标准差与样本量直出均值标准误与置信区间，附标准差与标准误的区别、样本量翻倍收益对照。合并标准差计算器输入两组样本的样本量与标准差，计算合并标准差，用于两样本 t 检验与效应量的方差齐性估计。排队论计算器输入到达率与服务率，计算 M/M/1 排队模型的利用率、队长、等待时间与逗留时间，附利用率超载预警。泊松分布计算器输入单位时间平均发生次数 λ 与目标次数 k，泊松公式直出 P(X=k)、P(X<k)、P(X≤k) 与 P(X>k)，附期望方差与适用条件判断。均匀分布计算器输入区间上下限 a、b，计算连续均匀分布的密度、期望、方差与区间概率，附离散骰子口径说明。威布尔分布计算器输入形状参数 k、尺度参数 λ 与任务时间 t，计算威布尔分布的可靠度、累积失效概率与瞬时失效率，附浴盆曲线与寿命设计应用。
描述统计与回归
最小二乘回归与相关分析，附残差解读。
四分位距计算器在线计算四分位数 Q1、Q3 与 IQR，输出五数概括与 1.5 倍 IQR 异常值判定，附线性插值法计算细节。平均绝对偏差计算器计算一组数据的平均绝对偏差（MAD）：先求均值，再取各点偏差绝对值的平均，附逐步过程与标准差对照。变异系数计算器粘贴一组数据，计算变异系数 CV = σ/μ × 100%，自动判定样本/总体口径，附相对波动性比较与行业应用示例。百分位数计算器粘贴一组数据，按线性插值法求任意百分位数（P10/P25/P50/P90 自定义），反向输入目标值即得百分位排名，附中位数与四分位联动。极差计算器输入一组数据，一键算出极差（最大值−最小值）并附最值定位：R=x_max−x_min，附质检波动与气温差算例。RMS 均方根计算器粘贴一组数据，直出 RMS 均方根值，附与算术平均、峰值因子的对照，适用于交流电与信号分析。平方和计算器输入一组数据直出 Σx² 与离差平方和 Σ(x−x̄)²，附均值与样本方差联动，前 n 个自然数平方和公式对照。本福特定律计算器输入一组正数（逗号或空格分隔），统计各首位数字 1-9 的实际频率，与本福特期望 log10(1+1/d) 对比，输出平均绝对偏差 MAD 与符合度判读。皮尔逊相关系数计算器粘贴两组配对数据，在线计算皮尔逊相关系数 r、决定系数 r² 与相关性强度判定，附公式拆解、判读标准与常见误读提醒。最小二乘回归计算器输入成对数据点，最小二乘法拟合直线 y = a + bx，给出斜率、截距、相关系数与 R²，并支持代入预测。二次回归计算器输入成对 x/y 数据，最小二乘拟合 y=ax²+bx+c 抛物线方程，输出顶点、对称轴、判定系数 R² 与预测值。残差计算按回归方程与观测点计算残差、SSE 与残差图数据，检验拟合质量。
三角恒等与角
和差、倍角与半角公式的代入求值与象限定号。
二倍角公式计算器输入角度 A，一键得到 sin2A、cos2A、tan2A 三组二倍角值，附 cos2A 三种等价形式与降幂公式推导。半角公式计算器输入任意角度，用半角公式一键算出 sin(θ/2)、cos(θ/2)、tan(θ/2) 的精确推导值：先求 cosθ，再代 √((1−cosθ)/2) 等三个半角恒等式，自动按象限确定符号。和差公式计算器输入两个角度即刻按正弦、余弦、正切的和角与差角公式展开求值，六项结果与公式文本同屏对照，是验证诱导关系与化简三角式的速查工具。参考角计算器输入任意角度即刻算出 0 到 90 度之间的参考角，自动判定象限并给出归一化角度，是记忆三角函数值与化简诱导公式的必备工具。终边角计算器输入任意角度，直出 0-360 度内的同终边角、弧度值与参考角，附象限判定，三角函数化简与周期问题一步到位。补角计算器输入任一角直出其补角，附弧度换算与几何场景判读，覆盖邻补角、同旁内角与圆内接四边形对角互补。余角计算器输入一个角立刻得到它的余角（度与弧度），或输入两个角判断它们是否互为余角，附三角函数互化关系速查。弧度转角度计算器弧度与角度双向换算：π 等于 180 度，输入任一弧度值直出角度，附特殊角速查与常用换算系数。相位移计算器输入角频率 B 与水平位移 C，计算正弦函数 y = sin(B(x − C)) 的相位移、周期与初相，理解图像左右平移。余弦定理计算器余弦定理在线计算：已知两边及夹角求第三边，或已知三边反求任意角。输入即出 c² = a² + b² − 2ab·cos C 的完整步骤与各角度数，支持度分秒与钝角三角形。正弦定理计算器正弦定理在线计算：a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R。已知两角一边或两边一角解出全部边角，同时给出外接圆半径、面积与 SSA 歧义提示，支持任意三角形。
方程与因式
求根公式、因式分解与方程变形的完整过程。
一元二次方程求根公式计算器输入 a、b、c 三系数，求根公式直出判别式、两个实根或复根、对称轴与顶点，附判别式三情形与韦达定理验证。十字相乘因式分解计算器输入 a、b、c，自动判断二次三项式 ax²+bx+c 能否整数因式分解，输出 (px+q)(rx+s) 结果、判别式与求根公式对照。有理零点定理按有理零点定理枚举多项式候选有理根 ±p/q，手工分解因式第一步。配方法计算器输入二次方程系数，逐步演示配方法：除以首项、加上半次项平方、化为 (x+h)²=k，给出顶点式与两根。绝对值方程计算器解形如 |ax + b| = c 的绝对值方程，自动给出两根、判别解个数并展示去绝对值的分拆步骤。绝对值不等式计算器解形如 |ax + b| < c 与 |ax + b| > c 的绝对值不等式，自动给出解集区间、开闭区间表述与数轴含义，覆盖 c ≤ 0 与 a = 0 的特殊情形。两直线交点计算器输入两条直线 y = a₁x + b₁ 与 y = a₂x + b₂ 的斜率截距，一键求出交点坐标：自动识别平行（无交点）与重合（无穷多交点），附求解步骤与几何意义说明。部分分式分解计算器把 (px+q)/((x−a)(x−b)) 型有理式拆成两个简单分式之和，自动求覆盖系数与积分友好形式。二项式乘法计算器输入两个一次二项式的系数，FOIL 四步展开得到 ax² + bx + c 标准形式，并给出判别式与因式分解验证。二项式平方计算器完全平方公式计算器：(a+b)²=a²+2ab+b²、(a−b)²=a²−2ab+b²，输入两项数值立即展开验证，配方法与乘法公式练习好帮手。
取整与近似
有效数字、误差界与科学计数法，近似口径写清楚。
四舍五入到分计算器把任意数值按标准四舍五入保留两位小数（精确到分/厘），支持元、美元等货币场景，附浮点误差与银行家舍入说明。四舍五入到十位计算器输入任意数字，按标准四舍五入规则取整到最近的十位：个位满 5 进上、不足 5 舍去，支持负数与多位整数，估算与报数场景即输即得。舍入到百位计算器输入任意数字，一键四舍五入到最近的整百数，同步给出舍入方向与误差值，支持负数与小数。有效数字计算器输入数值自动统计有效数字位数，按指定位数舍入并给科学计数法结果，附有效数字判定规则与常见易错点。凑整估算计算器把两个数按首位有效数字凑成好算的整数，再心算加减乘除得到快速估计值，并给出与精确值的误差百分比，训练口算估算的直觉。相对误差计算器输入测量值与真值直出绝对误差与相对误差百分比，附有效数字对应关系与实验精度参考。相对变化率计算器输入旧值与新值直出相对变化百分比，分母取旧值绝对值，涨跌方向与正负号一目了然。数量级计算器计算单个数字的数量级与科学记数表示，比较两个数相差几个数量级，快速估算倍数关系。分母有理化计算器输入 a/√b 形式分式，直出有理化后的 a√b/b 最简形式，附数值验证与化简步骤，支持完全平方分母自动约分。
数的性质
奇偶、质合与互质判定，附判定依据。
绝对值计算器输入数字或简单表达式，计算绝对值（取模），支持小数与分数，附绝对值不等式与距离含义说明。互质数判断计算器输入两个或多个整数，用最大公约数判定它们是否互质：两两互质与整体互质一次分清，附约分应用与欧拉函数入口说明。有理数无理数判定器输入分数或小数即刻判定它是有理数还是无理数：分数给出小数展开与循环节，有限小数给出等值分数，并解释判定依据。数位和计算器输入任意整数即刻得到各位数字之和、数位积与数字根，附 9 的整除判别法，验证计算与出题都好用。余数计算器输入被除数与除数，直出商与余数，附整除判定与验算还原，覆盖 mod 取模在编程与数论中的常见口径。质数计算器判断任意整数是否为质数，给出下一个质数与 N 以内质数个数，附合数的标准分解与试除范围说明。n 次方根计算任意次方根，支持负数的奇次根，输出高精度结果与验算值。有理指数幂计算器输入底数与分数指数 p/q，直出 a^(p/q) 精确值与近似值，负指数与假分数一步处理，附根式互化与运算律。在线大数计算器突破常规计算器 15 位精度上限，用任意精度算法完成超长数字的加减乘除与整数幂运算，除法支持指定小数位，结果精确到最后一位不丢精度。根式化简计算器输入正整数 n，把 √n 化简为 a√b 最简形式，自动分离完全平方因子，附质数与完全平方判定，代数作业直出过程。立方根化简计算器输入整数即刻把立方根化简为最简形式 k∛m：自动分解质因数、提取全部立方因子，支持负数奇次根，附小数近似值。从小到大排序计算器把一组数字（含负数与小数）按从小到大排序，输出有序序列、去重结果与中位数，一键复制。
坐标与变换
极坐标与直角坐标互转、旋转与平移变换。
极坐标与直角坐标转换计算器输入极坐标 (r, θ) 或直角坐标 (x, y) 双向转换，支持角度与弧度两种单位，自动处理象限定号与反推半径角度。球坐标转换计算器直角坐标 (x, y, z) 与球坐标 (r, θ, φ) 双向转换：r=√(x²+y²+z²)、θ=arccos(z/r)、φ=atan2(y,x)，附物理与数学两种角度约定说明。柱坐标转换计算器在柱坐标 (r, θ, z) 与直角坐标 (x, y, z) 之间双向转换，支持弧度与角度输入，适用于电磁场与三维建模场景。坐标旋转计算器输入坐标与旋转角，一键得到绕原点或任意中心旋转后的新坐标，顺逆时针可选，图形变换必备。方位角计算器输入两点的平面坐标或相对距离，用 atan2 计算从观测点到目标点的方位角（0-360°，正北为 0），附罗盘方位与象限判读。圆的标准方程计算器圆的标准方程 (x−h)²+(y−k)²=r² 与一般式 x²+y²+Dx+Ey+F=0 双向互转：圆心 (−D/2,−E/2)、半径 r=√(D²+E²−4F)/2。球面方程计算器球心 (a,b,c)、半径 r 与标准方程 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r² 双向互推，一键展开为一般式并验证距离。线性插值计算器已知两个数据点，按直线比例推算中间或外延位置的数值，支持正向插值与反向求解，附等比例步骤。直线方程计算器输入平面直角坐标系中的两个点，一步得到直线方程 y = mx + b、斜率、截距、线段长度与中点坐标。直线方程形式转换计算器在一般式 Ax+By=C 与斜截式 y=mx+b 之间双向转换：自动求斜率、y 截距与 x 截距，支持系数化整，代数作业一步到位。线段定比分点计算器输入两端点坐标与分比 m:n，一键求内分点与外分点坐标，自动校验分比方向并给出中点特例。
矩阵进阶
特征向量、对角化与秩，矩阵进阶专题。
特征值特征向量计算器输入 2×2 矩阵四个元素，自动解特征方程求特征值与对应特征向量，附迹与行列式验证。奇异值分解计算器2×2 矩阵奇异值分解：输入四元素立即得奇异值 σ₁ σ₂、条件数与秩判定，数据压缩与 PCA 降维背后的核心分解。伪逆矩阵计算器输入 m×n 矩阵计算 Moore-Penrose 伪逆 A⁺，满列秩用 (AᵀA)⁻¹Aᵀ、满行秩用 Aᵀ(AAᵀ)⁻¹，支持最小二乘求解与矩阵校验。矩阵条件数计算器输入 2 阶矩阵，计算无穷范数、1 范数与谱条件数，判断矩阵是否病态，理解数据误差在求解线性方程组时会被放大多少倍。矩阵范数计算器在线计算矩阵的 Frobenius 范数、1-范数（列和最大）与无穷范数（行和最大），附欧几里得等价解释与数值稳定性提示。余子式与代数余子式计算器输入 3 阶矩阵，一次算出全部 9 个代数余子式、余子式矩阵与伴随矩阵，并顺带验证按第一行展开的行列式值。
概率进阶
条件概率、贝叶斯与常见分布的期望方差。
联合概率计算器输入两个事件的概率并选择关系（独立/互斥/一般），一键算出联合概率 P(A∩B)、并集 P(A∪B)、恰好发生一个与都不发生，附「至少一次」补集速算与常见误区。或概率计算器输入 P(A) 与 P(B) 按互斥、独立或一般三种模式直出至少发生其一的概率，附至少一次反推与德摩根对偶。三事件概率计算器输入三个独立事件的概率，计算至少发生一个、恰好一个、恰好两个与全部发生的概率，兼容互斥情形提示。乘法计数原理计算器输入每个步骤的可选数，用乘法计数原理一步算出所有组合方式总数，附加法原理辨析与受限步骤处理。子集个数计算器输入集合元素个数 n，直出全部子集 2ⁿ、真子集与非空子集个数，附枚举示例与组合对照。
级数与分数
无穷级数收敛性、泰勒展开与连分数。
无穷级数计算器计算几何级数、p 级数与交错调和级数的前 N 项部分和，判断敛散性并给出收敛极限，附判别法速记。等差数列求和计算器等差数列前 n 项和：S=n(a₁+aₙ)/2 或 S=n[2a₁+(n−1)d]/2，输入首项、公差与项数立即得和与末项，高斯配对法自动演示。三角形数计算器输入 n 求第 n 个三角形数，或输入数值反推它是第几项，附前若干项列表与高斯求和故事中的经典数字。杨辉三角计算器输入行号 n 与列号 k，杨辉三角直出整行系数与单个组合数 C(n,k)，联动二项式展开与概率应用，附对称性说明。假分数转带分数计算器把假分数一键转换为带分数：自动求商与余数、约分余数，并支持带分数反向转回假分数。带分数转假分数计算器输入整数部分、分子与分母，一步把带分数转成假分数，支持负数与结果自动约分。分数约分计算器输入分数自动约分为最简形式，显示最大公约数与约分步骤，负分数、假分数与带分数转换一并支持。长加法竖式计算器两数相加的竖式逐步演示：从个位起逐列相加、标注进位、生成完整竖式过程，适合小学数学教学。时间转小数计算器时分秒与小数小时双向换算，考勤统计、工时计费、薪资核算 instantly 得到 7:45 = 7.75 这类结果。
曲线与曲面
圆锥曲线标准方程、曲线长度与曲面面积。
摆线计算器输入滚圆半径，计算摆线一个拱的弧长、拱下面积、拱高与参数方程坐标，用于齿轮齿形与最速降线分析。莫比乌斯带计算器输入圆环直径与带宽，计算莫比乌斯带的中线带长与单面表面积，并与普通双面环对比。月牙面积计算器输入大圆与小圆半径及圆心距，用两圆位置关系计算月牙（弦月形）面积，支持相离、相交与内含判断。弓形面积计算器输入半径与圆心角，直出弓形面积、扇形面积与三角形分量，附弦长与弓形高计算，覆盖大小弓形两种口径。不规则多边形面积计算器输入不规则多边形各顶点坐标，用鞋带公式精确计算面积，支持任意边数与凹多边形，附方向与单位说明。正多边形角度计算器输入边数 n，一键算出正多边形的内角和、每个内角、每个外角与中心角，n 取 3 到 100 均可，几何作图与装修放线常用。环面体积计算器输入大半径 R 与管半径 r，计算环面（圆环体）的体积与表面积，含自接触校验与常见实物对照。比表面积计算器表面积体积比（SA:V）计算器：立方体、球体、圆柱三模式，输出比表面积与等效粒径，纳米材料、催化与散热设计核心指标。通径计算器计算抛物线、椭圆与双曲线的通径（latus rectum）长度与焦点坐标，输入参数一键得出解析结果。三角形中位线计算器由第三边长度计算三角形中位线长度，并给出中点三角形周长与面积比例。圆的半径计算器输入面积、周长或直径任一条件直出半径，附周长面积直径联动输出与公式来源说明。
其他工具
反对数计算器输入对数值与底数，一键求反对数：10^x、e^x（自然反对数）与任意底 b^x，附指数还原过程与科学计数法结果。反三角函数计算器输入 [-1, 1] 的值求反正弦、反余弦、反正切主值，同时输出角度制与弧度制，附值域区间与象限定号说明。绝对变化计算器计算两个数值的绝对变化（末值减初值）与相对变化率，正负号自动判别增减，附与百分比变化的口径对照。平均百分比计算器计算多个百分比的算术平均值，支持逗号分隔批量输入，附「基数不同时简单平均会失真」的加权修正提示与示例。向量夹角计算器输入两个二维或三维向量的分量，按点积公式计算夹角（度与弧度），附点积、模长与平行/垂直/钝角判读。外接圆计算器输入三角形三个顶点坐标，计算外接圆圆心（外心）坐标与半径 R，附垂直平分线原理、共线判定与海伦公式交叉验证。内切圆计算器输入三角形顶点坐标或三边长，计算内心坐标、内切圆半径 r 与相切点信息，附角平分线原理与 r = 2K/周长 公式验证。边心距计算器输入正多边形边长与边数，计算边心距（中心到边的中点距离）、周长与面积，附 a = s/(2tan(π/n)) 公式与常见正多边形对照。四面体体积计算器计算四面体体积：正四面体按棱长 V = (√2/12)a³，任意四面体输入四顶点坐标按标量三重积 V = |det|/6，附表面积与高。欧拉函数计算器输入正整数 n，计算欧拉函数 φ(n)（1 到 n 中与 n 互质的个数），附质因数分解与公式 n·∏(1−1/p) 逐步过程。单位圆计算器输入角度，立即得到单位圆上的坐标 (cos θ, sin θ)、弧度、参考角、象限与正切值，附三角函数意义解释。在线二进制除法计算器输入二进制被除数与除数，立即得到二进制商与余数，附长除竖式步骤与十进制验算，支持任意位宽。
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