余弦定理计算器
输入两边与夹角求第三边，或输入三边求角——余弦定理是勾股定理的一般化。
什么是余弦定理计算器？
余弦定理 c² = a² + b² − 2ab·cosC 是勾股定理的推广：当 C = 90° 时 cosC = 0，退化为 c² = a² + b²。它解决两类问题：① SAS（两边夹角）求第三边；② SSS（三边）求任意角：cosC = (a²+b²−c²)/(2ab)。
5、7 两边夹 60° 角：c² = 25 + 49 − 2×5×7×0.5 = 39，c = √39 ≈ 6.24。余弦定理是解三角形的万能钥匙之一，与正弦定理配合可解任意三角形。
余弦定理是勾股定理向任意三角形的直接推广：当夹角恰好为 90° 时 cosC = 0，公式自动退化为 c² = a² + b²。它建立的是「两边及其夹角」与「第三边」之间的桥梁，因此天然适配两类问题——已知两边一夹角（SAS）求第三边，以及已知三边（SSS）反求任意角。物理中矢量合成的平行四边形法则、力学中的力的合成，本质都是余弦定理。
与正弦定理相比，余弦定理有一个关键的数值优势：反余弦 arccos 的值域是 0°–180°，一个余弦值唯一对应一个角，不存在补角歧义；而正弦定理求角时 sinB = sin(180°−B)，必须人工判断锐角还是钝角。因此 SSS 情形下专业解法是「先用余弦定理求最大角」，最大角确定后其余两角必为锐角，再用正弦定理速算。
历史上，欧几里得在《几何原本》卷二命题 12、13 中以几何面积语言给出了余弦定理的等价形式（钝角与锐角情形分别陈述），比三角函数概念早了一千多年；明确使用余弦表达的现代形式通常归于 15 世纪的波斯数学家阿尔·卡西，他将其用于天文计算。今天它是测量学、导航定位与计算机图形学中不可达距离解算的基石。
c² = a² + b² − 2ab·cosC；反求角：C = arccos[(a²+b²−c²)/(2ab)]。
验证（3-4-5 直角）：c² = 3² + 4² − 2×3×4×cos90° = 9 + 16 − 0 = 25 ✓，退化为勾股定理。钝角例（a=3, b=5, C=120°）：c² = 9 + 25 − 30×(−0.5) = 49 → c = 7，即经典的 3-5-7 钝角三角形。
| 夹角 C | cosC | c² = a²+b²−2ab·cosC 的特点 | 典型场景 |
|---|---|---|---|
| 60° | 0.5 | c² = a² + b² − ab（减去全部乘积） | SAS 求第三边 |
| 90° | 0 | c² = a² + b²（退化为勾股定理） | 直角校验 |
| 120° | −0.5 | c² = a² + b² + ab（变为加上乘积） | 钝角求边 |
| 0°（退化） | 1 | c² = (a−b)²，三角形压成线段 | 边界理解 |
| 180°（退化） | −1 | c² = (a+b)²，三角形拉成线段 | 边界理解 |
如何使用余弦定理计算器
- 1
选择模式：SAS 求第三边，或 SSS 求角。
- 2
SAS：输入两边长与夹角（度）；SSS：输入三边长。
- 3
点击「计算」，查看第三边或三个角。
计算示例
例 1a = 5，b = 7，C = 60°，求 c
c² = 25 + 49 − 70×0.5 = 39，c = √39 ≈ 6.245。
例 2三边 5、7、6.245，反求 C
cosC = (25 + 49 − 39) ÷ 70 = 0.5，C = 60°——与正向计算互逆验证。
例 3SAS：两边夹角求第三边
已知 a = 5、b = 8、夹角 C = 60°。c² = 25 + 64 − 2×5×8×0.5 = 89 − 40 = 49，所以 c = 7。这组 5-8-60° 恰好拼出整数边三角形，是竞赛题常客。
例 4SSS：三边反求角
三边 4、5、6 求对角 C（对边 6）：cosC = (16 + 25 − 36) / (2×4×5) = 5/40 = 0.125，C = arccos(0.125) ≈ 82.8°。同理可得 A ≈ 41.4°、B ≈ 55.8°，三角和 180° 校验通过。
例 5航海：两船实时距离
灯塔观测站测得船甲距站 12 海里、方位北偏东 30°，船乙距站 9 海里、方位南偏东 70°，两方位夹角 80°。两船距离² = 144 + 81 − 2×12×9×cos80° ≈ 225 − 37.5 = 187.5，距离 ≈ 13.7 海里。
注意事项
夹角必须用「两边所夹」的角，用错角结果全错。
反求角时 arccos 值域 [0°,180°]，自动覆盖钝角情形，这是比正弦定理安全的地方。
三边求角建议先求最大边对的角：余弦值最小时角度最大，避免歧义。
航海、测量中的方位计算大量使用余弦定理（两点距离 + 方位角）。
余弦为负时（夹角 > 90°）公式中「−2ab·cosC」实际变为加项，c² > a² + b²，这正是钝角三角形「长边平方大于两短边平方和」的判别法——无需先判断角类型，公式自动处理符号。
用 SSS 反求角时建议先求最大边所对的角：若该角为钝角，arccos 能直接给出正确钝角；若先求小角再依赖正弦定理求大角，就必须面对 sin 的补角歧义，多一步人工判断。
计算前必须验证三角形不等式（任意两边之和大于第三边）：若三边无法构成三角形，(a²+b²−c²)/(2ab) 会落在 [−1, 1] 之外，arccos 直接报错——本工具已内置该校验并给出明确提示。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-04-29
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Calcton. 余弦定理计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/law-cosines, 2026-04-29.
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参考来源与更新说明
本页公式与判定标准参考以下权威资料：
- Wikipedia — Law of cosines（余弦定理：历史、证明与推广）
- Euclid, Elements Book II Propositions 12–13（几何原本中的原始形式）
- Wolfram MathWorld — Law of Cosines
最后更新：2026-04-29。
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