分数计算器

分数表示把一个整体平均分成若干份后取其中几份：分数线下方是分母（分成几份），上方是分子（取几份），分数线本身就是除号——3/4 既表示「四等份取三份」，也等于 3 ÷ 4 = 0.75。理解分数线的双重身份，是理解一切分数运算的前提。

按分子分母的大小关系，分数分三类：分子小于分母的是真分数（如 3/4，值小于 1）；分子大于等于分母的是假分数（如 5/4）；假分数可以拆成整数加真分数的形式，即带分数（5/4 = 1 1/4）。带分数化假分数的法则是「整数乘分母加分子」：1 1/4 = (1×4 + 1)/4 = 5/4。本工具的输入框直接支持带分数录入，整数部分选填。

同一个分数有无数种写法：1/2 = 2/4 = 3/6，分子分母同乘一个非零数，值不变。反过来，同除以分子分母的最大公约数（gcd），就得到最简分数（既约分数），如 12/18 同除以 6 得 2/3。求最大公约数的经典方法是辗转相除法（欧几里得算法）：用大数除以小数取余数，余数再除以前一个余数，直到余数为 0，最后的除数即所求。约分模式的计算过程会完整展示这一步；多数字的公约数与公倍数可用最大公约数与最小公倍数计算器一次算清。

分数加减要求分母相同（通分）：把各分母的最小公倍数（lcm）作为新分母，分子按倍数同步放大。例如 1/4 + 1/6，lcm(4, 6) = 12，化为 3/12 + 2/12 = 5/12。乘除法则不需要通分：乘法分子乘分子、分母乘分母；除以一个分数等于乘它的倒数（把除数分子分母翻转），如 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 5/4。

分数化小数只做一次除法，结果只有两种：有限小数或无限循环小数。判定方法看最简分数的分母：质因数只含 2 和 5（如 8 = 2³、20 = 2²×5）则为有限小数；含有其他任何质因数（如 3、7、11）必为无限循环小数，且循环节长度小于分母。1/7 = 0.(142857)，循环节 6 位；1/12 = 0.08(3)，循环节 1 位。本工具用括号标注循环节，分数转小数时会先做质因数判定。

循环小数也能精确转回分数，用的是代数消元法：设 x = 0.(3)，则 10x = 3.(3)，两式相减得 9x = 3，x = 1/3。有非循环部分时按位数先乘一次 10 的幂对齐，如 x = 1.1(6)，10x = 11.(6)、100x = 116.(6)，相减得 90x = 105，x = 7/6。本工具的小数转分数支持 0.(3)、1.1(6) 这类循环节写法，并完整列出消元步骤。