长除法计算器

**商与余数：除法的标准答案格式。** 数学上把除法的完整结论写成 a = b × q + r（0 ≤ r < b）：a 是被除数，b 是除数，q 是商，r 是余数——对任意两个整数（除数不为 0），这样的 q 和 r 有且只有一对，这叫欧几里得除法。比如 1000 = 7 × 142 + 6。余数必须严格小于除数：一旦 r ≥ b，说明商试小了，余数里还藏着完整的除数。整除只是 r = 0 的特例。

**竖式每一步在做什么。** 长除法的竖式是「试商—相乘—相减—落下」的四步循环：先看被除数的前几位够不够除（不够就多看一位），试出这一位的商，乘回去、减掉，再把下一位落下来继续。以 1000 ÷ 7 为例：取前两位 10，商 1（1×7=7，余 3）；落下 0 得 30，商 4（4×7=28，余 2）；再落下 0 得 20，商 2（2×7=14，余 6）。余数 6 比 7 小，整数除法到此结束。它的本质是**从高位到低位逐位瓜分被除数**，每一位商都表示「这一位上最多还能分出几个除数」。

**为什么有的除法得有限小数，有的无限循环。** 判定定理一句话：把除数（分数要先约到最简）分解质因数，只含 2 和 5 时商是有限小数——因为总能通分成分母为 10 的幂；只要含 3、7、11 等其他质因子，商必然无限循环。5 ÷ 8 = 0.625（8 = 2³）有限，1 ÷ 7 = 0.(142857) 无限循环，原因都在这一条。循环节长度不超过除数减 1：余数只有 b−1 种非零取值，重复出现的那一刻就开始循环。1/7 的循环节 142857 恰好顶格 6 位，它叫「走马灯数」——乘 1 到 6 的积永远是这六个数字的轮转，所以 1/7 到 6/7 的循环节全是同一串数字换个起点。

**取余（mod）：周期世界的数学语言。** 星期是 mod 7、生肖是 mod 12、单双号是 mod 2——一切循环往复的定位问题都是取余。周一过 100 天是周几？100 mod 7 = 2，周一往后数 2 天，周三。数学上记作 a ≡ r (mod m)，读作「a 与 r 模 m 同余」。负数的口径值得一提：数学约定余数落在 0 到 m−1 之间（−17 mod 5 = 3，因为 −17 = 5×(−4) + 3），而部分编程语言让余数跟被除数同号，跨语言读代码时要留心。

**幂取模与快速幂：从 99 次乘法到 9 次。** 算 3¹⁰⁰ mod 7，谁也不会真把 3 连乘 100 次。快速幂利用指数的二进制展开：100 = 1100100₂，反复平方依次得到 3¹、3²、3⁴、3⁸、3¹⁶、3³²、3⁶⁴（每步一次乘法），再把二进制位为 1 的项乘起来——6 次平方加 3 次乘入，共 9 次乘法，且每步都对 7 取余，中间结果永不膨胀。手工也有漂亮验证：3⁶ ≡ 1 (mod 7)（费马小定理），100 = 6×16 + 4，所以 3¹⁰⁰ ≡ 3⁴ = 81 ≡ 4 (mod 7)。幂取模正向快、逆向难，这正是 RSA 加密赖以成立的不对称性。