排列组合计算器

排列与组合的分水岭是「顺序算不算数」。从 10 个人里选 3 个，选出来就行是组合 C(10,3) = 120 种；选出来还要分班长、学委、体委三个不同职位，是排列 P(10,3) = 720 种。组合数 × 内部排序数 k! = 排列数，所以排列总是组合的 k! 倍——6 倍（3! = 6）就是 120 与 720 的关系。

两套公式都落在阶乘上：P(n,k) = n! ÷ (n−k)!，C(n,k) = n! ÷（k! × (n−k)!）。手算不必真算大阶乘——约分后只剩 k 个数的连乘除以 k!，如 C(10,3) = (10 × 9 × 8) ÷ (3 × 2 × 1) = 720 ÷ 6 = 120。本工具全程用 BigInt 精确整数运算，像 C(1000,500) 这样 300 位的结果也精确到个位，超过 30 位时以科学计数显示并标注位数。

允许重复选取时公式换形：可重复排列（每位独立、可以重复，如三位数字密码）是 n^k = 10³ = 1000 种；可重复组合（同款可重复选、不计顺序，如从 5 种口味买 3 个面包）用隔板法，等于 C(n+k−1, k)。计数模式会把四套公式的结果并列给出，并按数量级画对比条，一眼看清顺序与重复各自放大多少。

彩票概率是组合数最直接的应用。双色球红球 33 选 6 有 C(33,6) = 1,107,568 种，再乘蓝球 16 选 1，共 17,721,088 种组合，单注头奖概率约 0.000005643%（1/17,721,088）；按每周 3 期、全年 156 期计，平均约 11.4 万年才开出一次头奖。大乐透 35 选 5 × 12 选 2 共 21,425,712 种，期望约 13.7 万年。概率模式支持任意「主池 + 副池」规则，预设一键填入。掷骰子场景的概率分布另有骰子计算器的检定模式。

「恰好选中 j 个」用超几何分布计算：从 33 个红球选 6 个、恰好命中开奖 6 红中的 5 个，有利方案 = C(6,5) × C(27,1) = 162，概率 = 162 ÷ 1,107,568 ≈ 1/6,837。原理是把你的 k 个号码与固定的 k 个开奖号求交集，交集个数服从超几何分布。注意这一口径只针对主池，不含副池。

买多注能显著提高中奖率吗？买 100 注不同号码，头奖概率从 1/17,721,088 升到 100/17,721,088 ≈ 1/177,211——确实提升了 100 倍，但绝对值依然微乎其微。概率模式会同步给出单注与 N 注两套口径，并附期望年限，帮你把「多买点」换算成直观的时间尺度。