阶乘计算器

什么是阶乘计算器？

阶乘是最经典的计数函数：n! = n × (n−1) × … × 2 × 1，它数的是「n 个不同元素排成一列」的方式数——3 个人排队有 3! = 6 种排法，10 个人就有 3,628,800 种。约定 0! = 1：空乘积等于乘法单位元，且 0 个元素恰有「什么都不排」这 1 种排法。

阶乘的增长比任何指数函数都快，这直接撞上两个硬件上限：普通科学计算器显示上限 10¹⁰⁰，70!（101 位）就溢出报错；IEEE 754 双精度浮点上界约 1.8×10³⁰⁸，170! ≈ 7.2574×10³⁰⁶ 是最后一个装得下的阶乘，171! 变成 Infinity——而且浮点只保留约 16 位有效数字，20! 的末位早已不准。本工具用 BigInt 大整数精确运算，5000! 的 16,326 位也逐位给出，可展开查看、一键复制。

双阶乘 n!! 是「隔一个乘一个」：n × (n−2) × (n−4) × …，按奇偶分成两支——偶数有恒等式 (2k)!! = 2ᵏ·k!（如 20!! = 2¹⁰ × 10!），奇数双阶乘 (2n−1)!! 则频繁出现在组合计数、高斯积分与正态分布矩里。注意双阶乘不是「阶乘的阶乘」：(5!)! = 120! 是完全不同的巨数。

错排数 D(n) 数的是「n 个元素全部错位」的排列——n 张贺卡随机装入 n 个信封，全部装错的装法。递推 D(n) = (n−1)[D(n−1)+D(n−2)]，而全错概率 D(n)/n! 以惊人的速度收敛到 1/e ≈ 36.7879%：n = 10 时前 4 位小数已与 1/e 完全一致。

n! 末尾有多少个零？数因子 5 即可（因子 2 永远过剩）：勒让德公式 ⌊n/5⌋+⌊n/25⌋+⌊n/125⌋+… 对任意大的 n 秒出答案。想知道 n! 有多少位，斯特林公式 n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ 给出精确到个位的位数——本工具带修正项，100! 的相对误差已小于 0.0001%。

如何使用阶乘计算器

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   选择功能模式：阶乘计算、双阶乘、错排数、阶乘除法或末尾零与位数。

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   阶乘计算：输入 0 – 5000 的整数，得到完整精确值、位数、末尾零、素因数分解、Stirling 对照与增长曲线；切到「反求」可输入一个大数，判断它是不是某个数的阶乘。

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   双阶乘：输入 0 – 1000 的整数，奇数偶数自动分支，附 (2k)!! = 2ᵏ·k! 恒等式验证与末尾零规则。

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   错排数：输入 1 – 1000 的整数，得错排数精确值、「全部排错」的概率与 1/e 收敛对照条。

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   阶乘除法：输入 a! ÷ b! 的两个数（a ≥ b），公共因子约简后连乘得精确值，附 P(n,k)/C(n,k) 对照行。

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   末尾零与位数：输入最大 10 亿的整数，纯公式秒出 n! 的末尾零个数、因子 2 对照与总位数，附勒让德逐步推导。

计算示例

注意事项

• 0! = 1 是约定更是必然：空乘积定义为乘法单位元 1；递推 n! = n×(n−1)! 要在 n = 1 处停住，必须 0! = 1；组合意义上 0 个元素的排列恰有「什么都不排」这 1 种。伽马函数 Γ(1) = 1 是第四重印证。

• 阶乘增长比任何指数函数都快：无论底数多大，n!/aⁿ 终究趋于无穷。最直观的对照是扑克牌：52! ≈ 8.07×10⁶⁷，把一副牌洗匀后得到的排列，在宇宙历史上几乎必然从未出现过——全宇宙可观测原子总数才约 10⁸⁰ 量级。

• 浮点数有两次「撞墙」：普通科学计算器显示上限 10¹⁰⁰，70!（101 位）就溢出；IEEE 754 双精度上界约 1.8×10³⁰⁸，170! ≈ 7.2574×10³⁰⁶ 还能表示、171! 直接 Infinity。即便「装得下」也不精确——浮点只保留约 16 位有效数字，20! 的末三位早已是舍入值。

• 末尾零会「跳档」：数因子 5 时 25、125、625… 每个 5 的幂贡献不止一次——25! 的末尾零是 ⌊25/5⌋+⌊25/25⌋ = 5+1 = 6 个而不是 5 个（5、10、15、20 各贡献一个 5，25 = 5² 一次贡献两个）。每到 5 的幂，零的增速就跳一档。

• 双阶乘按奇偶分裂：偶数 (2k)!! = 2ᵏ·k! 继承了 k! 的全部因子 5，末尾零个数与 k! 相同；奇数双阶乘全是奇数相乘，连一个因子 2 都没有，末尾零恒为 0。双阶乘不是「阶乘的阶乘」——(n!)! 是另一个量级的巨数。

• 错排概率收敛到 1/e 的速度快得反常：n = 5 时 36.6667%，n = 10 已 36.7879% 与 1/e 前 4 位小数一致，n ≥ 10 直接把 1/e 当精确值用，误差不足 0.0001%。原因是 D(n)/n! 恰好是 e⁻¹ 泰勒展开的前 n+1 项截断。

• 阶乘不是整数的专利：伽马函数 Γ(z) 把阶乘延拓到实数与复数，n! = Γ(n+1)。最有名的半整数值是 (1/2)! = Γ(3/2) = √π/2 ≈ 0.8862，它同时解释了高斯积分为什么等于 √π。负整数的阶乘不存在——Γ(z) 在 0、−1、−2… 处有极点。

• Stirling 公式的修正项很关键：裸公式 √(2πn)(n/e)ⁿ 的相对误差约 1/(12n)（10! 时为 −0.83%）；乘上 e^(1/(12n)) 后误差降到 1/(288n²) 量级，100! 时已小于 0.0001%。本工具用带修正项的版本估算大数位数，与精确值完全一致。

常见问题

参考资料

1. [1]Wikipedia：Factorial（阶乘）
2. [2]Wikipedia：Double factorial（双阶乘）
3. [3]Wikipedia：Derangement（错排问题）
4. [4]Wikipedia：Stirling 公式（斯特林近似）
5. [5]Wikipedia：Legendre 公式（勒让德公式）
6. [6]Wikipedia：Gamma function（伽马函数）