在线掷骰子

NdS+M 是桌游通用的骰子记法：N 颗 S 面骰，把点数相加再加修正值 M。1d20+5 就是跑团（TRPG）里最常见的检定式——一颗 20 面骰加 5 点属性加值。每颗骰子相互独立、各面等概率，最终结果就是"骰面和 + 修正"。

为什么 2d6 掷出 7 比掷出 2 常见 6 倍？因为和为 7 有 6 种组合（1+6、2+5……6+1），而和为 2 只有（1+1）一种。多点骰的和分布天然呈钟形——中间值密集、两端稀少。大富翁（2d6）里中段地皮客流最高，正是这条曲线的现实投影。

分布形态有规律：单骰是均匀分布，两颗是三角分布，三颗以上迅速逼近正态（钟形）曲线——这是中心极限定理最直观的演示。本工具在 30 颗、100 面以内用卷积逐一枚举全部组合，概率精确到个位；超出后自动切换正态近似，并明确标注。

均值与波动可以量化：NdS 的点数和均值为 N×(S+1)/2（2d6 是 7），标准差为 √(N×(S²−1)/12)（2d6 约 2.42）。掷骰结果围绕均值钟形散布，偏离 2 个标准差以外就算手气极端。

修正值只平移分布、不改变形状：1d20+5 ≥ 15 等价于骰面 ≥ 10，即 11/20 = 55%。每 +1 加值，d20 体系的检定成功率全程提高 5 个百分点——角色构筑的收益可以直接换算成概率。

检定思维：主持人（DM）设置难度等级 DC，本质是在设定成功概率。DC 15 对 +0 的新人是 30%，对 +5 的老手是 55%，对 +10 的专家是 80%——先算概率再决定赌不赌，是跑团与策略游戏的通用决策方式。

骰子的历史几乎与文明同龄：伊拉克出土的骰子距今约 5000 年，古印度《梨俱吠陀》里有骰子赌博的哀歌，中国先秦的六博、樗蒲都是骰戏。但"各面等概率"是近代才成立的——考古实测显示古代骰子重心偏差明显，罗马骰子掷出 1 和 6 的频率显著偏高（这两面刻痕最多、去掉的料最多）。现代精密骰（casino dice）要求边长公差 0.02mm 以内、点数用与骰体同密度的材料填充、棱角锐利不打磨，一只售价几十元——公平是有成本的。

卷积是理解多骰分布的钥匙：2d6 的分布可以写成两个均匀分布的"卷积"——把第二个骰的分布函数翻转、滑动、逐点相乘求和。每加一颗骰就卷积一次，分布就"更钟形"一分：1d6 是平顶，2d6 是三角，3d6 出现圆润的峰，5d6 已与正态曲线肉眼难辨。中心极限定理保证了这条收敛路径对任意骰型成立——这正是"3d6 属性、5d6 伤害"这类设计在桌游里长盛不衰的原因：钟形分布让极端结果稀缺、典型结果可期。

优势/劣势骰（advantage/disadvantage，5E 规则的代表性创新）改变了 d20 系统的概率形状：取两颗 d20 的较大者，均值从 10.5 升到 13.83，≥10 的概率从 55% 升到 79.75%——相当于白送 +5 加值。它的分布不再是均匀的：P(取大者=k) = (2k−1)/400，呈线性递增。这个"两颗取极值"的技巧可以推广：取大者分布右移、取小者左移，且都不改变单骰的独立性假设，是机制设计里调节手感最优雅的工具之一。

爆炸骰（exploding dice）、重掷（reroll）、保底（minimum）是另三大修饰机制。爆炸骰（掷出满点再加掷一颗）让分布右尾无限延伸：d6 爆炸的均值从 3.5 升到 4.2，且不再封顶——《暗影狂奔》《赛博朋克 RED》用它制造传奇时刻；重掷 1 的机制（如半身人幸运）把 1 的概率从 5% 压到 0.25%，均值提升 0.475；保底机制（不足 N 按 N 算）截断左尾，是"防脸黑"的人性化设计。算清这些修饰的概率账，角色构筑就从玄学变成工程。