在线三角形面积计算器

三角形是最稳定的几何结构，从屋顶桁架到桥梁支架无处不在。它的面积求法不止"底乘高除以二"一种——当高难以测量时，海伦公式和两边夹角公式就派上了用场；反过来知道面积和高，也能用 h = 2S ÷ 底 反推底边，本工具的"底 × 高"模式支持这三个量知二求一。

海伦公式以公元 1 世纪亚历山大港的海伦命名：已知三边 a、b、c，先求半周长 s = (a+b+c)/2，面积 = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]。量一块三角形地块的三条边，比测它的高容易得多，因此海伦公式在土地测量中极为实用。

三边还能决定全部角度：由余弦定理 cos A = (b²+c²−a²)/(2bc) 可反推出每个内角，进而判定是锐角、直角还是钝角三角形——直角情形 a²+b²=c² 就是著名的勾股定理，有专门的计算器。两边夹角模式则用余弦定理 c = √(a²+b²−2ab·cosC) 补出第三边。三条路殊途同归，选哪条取决于你已知什么。

已知两角一边时用正弦定理：第三个角 = 180° 减去两已知角，再由 a/sinA = b/sinB = c/sinC 推得另外两边。最微妙的是"两边及一对角"（SSA）：由 sin B = b·sinA ÷ a 求角 B 时，锐角 B 和它的补角 180°−B 都可能成立，因此 SSA 可能无解、一解或两解，本计算器会自动判定，双解时把两组三角形的完整结果并列展示。

如果三个顶点在坐标系里，用鞋带公式（Shoelace Formula）最快：S = |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)| ÷ 2，正负号由顶点绕行方向决定，取绝对值即可。得到面积的同时用距离公式算出三条边，整套解三角形结果一并给出——测绘、GIS 与解析几何作业的标配路径。

除面积与周长外，解三角形还会输出四组常用要素：三条高 h = 2·面积 ÷ 对应边（放样与等积变形常用）、内切圆半径 r = 面积 ÷ 半周长（三角形内能画出的最大圆）、外接圆半径 R = abc ÷ (4·面积)（过三个顶点的圆），以及三条中线 m_a = ½√(2b²+2c²−a²) 等（交于重心，重心把每条中线分为 2:1）。