法里数列计算器

n 阶法里数列是 [0,1] 中所有分母 ≤ n 的最简分数的递增序列。5 阶：0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1——共 11 项。

法里数列有个神奇性质：相邻两项 a/b 与 c/d 满足 bc − ad = 1（行列式恒为 1）。项数 ≈ 3n²/π²（与 φ 函数求和相关），它与黎曼猜想存在深刻联系（法里间距等价于黎曼假设的某种表述）。

法里数列最迷人的性质是「相邻行列式恒为 ±1」：若 a/b 与 c/d 相邻，则 bc−ad=1。这不仅是巧合，而是 Stern-Brocot 树结构的直接推论——每个新分数都以「中位数」(a+c)/(b+d) 插入两个「父母」之间，而行列式在中位数运算下保持不变。这个性质让法里数列成为连分数与最佳有理逼近的天然载体：任何无理数在 Fₙ 中的邻居，就是分母不超过 n 的最佳逼近。

项数公式 |Fₙ|=1+Σφ(k) 藏着深刻的渐近：Σφ(k)≈3n²/π²，即 [0,1] 内最简分数的「密度」由 1/ζ(2)=6/π² 决定——两个随机整数互素的概率。法里数列因此成为欧拉函数求和性质的最佳展示窗，也把「互素」这个概念从算术提升到了测度层面。

法里数列与一个世纪难题等价：黎曼猜想等价于「法里分数在 [0,1] 上的分布尽可能均匀」的精确量化（Franel-Landau 定理）。几何上，法里分数对应福特圆——x 轴上方在 a/b 处与 x 轴相切、直径 1/(2b²) 的圆簇，相邻法里分数的福特圆恰好相切，构成一幅完美的圆堆积图景，是双曲几何与模形式研究的入口。