综合除法计算器

综合除法是除以一次式 x−a 的速写版：写下系数，「下落、乘 a、相加」循环，最后一格就是余数 f(a)，前面各格是商式系数。中国宋代称秦九韶算法，西方称霍纳法则。

它同时是多项式求值的最优算法：n 次多项式只需 n 次乘法 + n 次加法，比逐项代入快一倍。计算机科学中所有多项式求值（包括 CPU 的浮点运算）都用这个结构。

综合除法是多项式长除在除式为 (x−a) 时的极限速写：长除中大量重复书写的 x 与系数其实可以全部省略，只留下系数做「乘 a、累加」的循环。每一列的操作都是同一个动作——把上一列底行结果乘以 a，加到本列系数上。n 次多项式只需 n 次乘法和 n 次加法，效率与直接代入求值的秦九韶算法（霍纳法则）完全等价。

这个算法在东西方各自独立诞生：中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》（1247 年）中系统使用「正负开方术」求高次方程数值解，其核心就是这套递推；英国数学家霍纳（Horner）于 1819 年发表同样方法，西方称霍纳法则。秦九韶早了近六百年。今天它是计算机求多项式值的标准算法——CPU 每算一次 f(x)，背后跑的都是这个递推。

综合除法的第一大用场是解方程降次：试出根 a 后，一次综合除法就把 n 次方程降为 n−1 次，余数为零时商式就是降次后的多项式。第二大用场是求值：要算 f(a) 不必逐项代入，直接对系数做一次综合除法，末位即 f(a)——对高次多项式，这把 O(n²) 的朴素代入压缩到 O(n)。它与多项式除法页的余式定理互为表里。