一元三次方程计算器

三次方程求解的经典策略：先用有理根定理（根必为「常数项因子 ÷ 首项系数因子」）扫描出有理根 x₁，综合除法降次为二次方程，再用求根公式。x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 扫描得 x = 1，降次为 x² − 5x + 6 = 0，解得 2、3。

一般三次方程可用卡尔达诺公式（1545 年发表），判别式 Δ 决定根的性态：Δ > 0 一个实根，Δ = 0 有重根，Δ < 0 三个不同实根（此时竟需借助复数才能表示实根——数学史上著名的「不可约情形」）。

三次方程的求解史是数学史上最富戏剧性的篇章：16 世纪意大利数学家塔尔塔利亚发现一般解法，卡尔达诺在《大术》（1545 年）中发表卡当公式，引发数学史上著名的优先权之争。卡当公式能机械地求出任何三次方程的根，但表达式嵌套两层立方根，实际计算往往不如「有理根定理 + 试根降次」来得干净利落。

实用求解路线分三步：先用有理根定理列出全部候选（常数项因子 ÷ 首项系数因子），逐个试算找到一个根 x₁；再用多项式除法把三次式除以 (x−x₁) 降为二次；最后用求根公式解二次方程。绝大多数教材与竞赛题目都设计有有理根，这条路线覆盖率极高，且每一步都有明确的算术动作，不会陷入卡当公式的根号泥潭。

三次方程还有一个独特的历史功绩：它逼出了复数。当 Δ<0 时，卡当公式的中间步骤出现负数开平方，即使最终的三个根全是实数（「不可约情形」），中间过程也无法绕开虚数。数学家被迫承认：要完整地描述实数世界，必须穿越复数。这一发现最终催生了整个复分析体系。二次方程基础可对照方程求解页。