方程求解器

方程是含有未知数的等式，求解就是找出使等号两边相等的未知数值。一元方程只含一个未知数，按次数分为一次（ax + b = 0）、二次（ax² + bx + c = 0）和三次；线性方程组则含有多个未知数，方程个数与未知数个数相同时通常有唯一解。

一元二次方程的求根公式 x = (−b ± √Δ) / 2a 是中学数学的核心工具，判别式 Δ = b² − 4ac 决定根的性质——本工具的二次方程计算器在此基础上进一步给出顶点式与因式分解。当 Δ 为完全平方数时根是有理数（分数精确值），否则是无理数（根式精确值），Δ < 0 时则进入复数域。

线性方程组的经典解法是消元法：通过加减消去某个未知数，逐步把多元方程组化为一元方程。本工具用高斯消元法（行阶梯形）求解，过程与手算一致——把增广矩阵化为上三角后回代，即可得到每个未知数的精确分数值。

三次及以上的方程一般没有简单的根式解法（阿贝尔–鲁菲尼定理证明五次及以上方程无通用根式解），本工具对三次方程采用数值方法给出高精度近似根，精度可达小数点后 10 位以上。

解方程的每一步变形都在做同一件事：对等号两边施加同一个可逆操作（同加、同减、同乘非零数、同除非零数），保持解集不变。所谓「移项变号」只是两边同减的速写；「两边平方」不可逆——会引入增根（如 √(x+2)=x 平方后得 x=2 与 x=−1，后者代入原式不成立），所以根式方程、分式方程解完必须验根。方程组的核心思想是消元降维：二元消成一元、三元消成二元，高斯消元法把这一思想机械化，成为计算机求解线性系统的标准算法。