半角公式计算器（sin/cos/tan 半角求值）
半角公式把 sin、cos、tan 的"一半角度"用原角度的余弦表示出来，是三角恒等变换的三大件之一（和差、倍角、半角）。它本质上是二倍角公式反着用：令倍角公式中的 θ 变成 θ/2，解出半角函数值。
什么是半角公式计算器？
三个核心恒等式：sin(θ/2) = ±√((1−cosθ)/2)、cos(θ/2) = ±√((1+cosθ)/2)、tan(θ/2) = (1−cosθ)/sinθ = sinθ/(1+cosθ)。
正负号由 θ/2 所在象限决定：先判断 θ 的范围，再确定 θ/2 落在哪个象限，按"ASTC 全s正t余"定符号。
半角公式与降幂公式等价：把 √ 移到平方即得 cos²(θ/2) = (1+cosθ)/2，常用于积分降幂。
sin(θ/2) = ±√((1−cosθ)/2)，cos(θ/2) = ±√((1+cosθ)/2)，tan(θ/2) = (1−cosθ)/sinθ
根号外的符号取决于 θ/2 所在象限：θ/2 在第一、二象限时 sin 取正；在第一、四象限时 cos 取正；tan(θ/2) 推荐用 (1−cosθ)/sinθ 形式，它与 sinθ 同号，无需再判断象限。
如何使用半角公式计算器
- 1
输入角度 θ（支持角度制或弧度制切换）。
- 2
查看自动求出的 cosθ 中间值与三个半角函数值。
- 3
核对给出的象限判定说明，理解每个结果取正还是取负的原因。
- 4
需要验证时可把结果平方，与降幂公式 (1−cosθ)/2、(1+cosθ)/2 对照。
计算示例
例 1求 sin 30° 的精确值
把 θ = 60° 代入半角公式：cos60° = 1/2，sin30° = √((1−1/2)/2) = √(1/4) = 1/2，与特殊角结果一致。
例 2求 cos 22.5° 的精确值
把 θ = 45° 代入：cos45° = √2/2，cos22.5° = √((1+√2/2)/2) = √((2+√2)/4) = √(2+√2)/2 ≈ 0.92388，这是不可再化简的根式精确值。
注意事项
输入 390° 这类超过 360° 的角时，公式对 cosθ 仍成立（余弦是周期函数），但象限符号判断要看 θ/2 的实际位置。
tan(θ/2) 的两个表达式在 cosθ = 1 或 sinθ = 0 处有单侧失效，计算器会自动选用稳定形式。
根式结果保留的是近似小数，若需要精确根式形式请参考验算示例中的推导过程。
半角公式只对"角减半"有效，不要与 sin²θ 降幂公式混用。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-05-20
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-05-20。
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