正弦定理计算器

Q: 用正弦定理计算器 - 角边互求与外接圆半径在线计算计算需要输入哪些内容？

首先，第一步：选模式——「两角与一边」走 AAS/ASA，无歧义；「两边与一边的对角」走 SSA，注意歧义提示。 然后，第二步：输入已知角与边，角度用小数度，边长单位保持一致。 全程在页面内完成，结果即时更新。

什么是正弦定理计算器？

正弦定理说的是：三角形中每条边与它对角的正弦之比处处相等——a/sin A = b/sin B = c/sin C，且这个比值恰好等于外接圆直径 2R。它把「角」的信息直接翻译成「边」的信息，是解三角形两大定理中的另一个（已知两边夹角或三边时用余弦定理）。

两类典型场景：一是「角角边/角边角」（AAS/ASA）——已知两角与任一边，第三个角由内角和 180° 补齐，再用比值逐个求边，常见于测绘中「前方交会」定位；二是「边边角」（SSA）——已知两边与一边的对角，此时可能有两解、一解或无解，是解三角形唯一的歧义情形，计算器会明确提示。

外接圆半径是正弦定理的赠品：R = a/(2sin A)。求出三边后，面积可用任意一边与对角计算（S = ½ab·sin C），也可以把三边交给海伦公式交叉验证；需要完整边角表时用解三角形计算器一步到位。

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R　　b = a·sin B ÷ sin A　　R = a ÷ (2sin A)　　A + B + C = 180°

已知两角与一边时：先由内角和求出第三角，再用比值求另外两边。例：A = 30°、B = 45°、a = 4，则 C = 105°；b = 4 × sin 45° ÷ sin 30° = 4 × 0.7071 ÷ 0.5 ≈ 5.657；c = 4 × sin 105° ÷ 0.5 ≈ 7.727。外接圆半径 R = 4 ÷ (2 × sin 30°) = 4。

如何使用正弦定理计算器

1
第一步：选模式——「两角与一边」走 AAS/ASA，无歧义；「两边与一边的对角」走 SSA，注意歧义提示。
2
第二步：输入已知角与边，角度用小数度，边长单位保持一致。
3
第三步：读取其余边角、外接圆半径与面积结果。
4
第四步：SSA 模式若提示两解，两个结果都合法，按实际几何朝向取舍。

计算示例

例 1测绘：从基线 a = 4 km 的两端观测远处目标，两个张角分别为 30° 和 45°，求目标到两端的距离。C = 105°，b = 4·sin45°/sin30° ≈ 5.657 km，c = 4·sin105°/sin30° ≈ 7.727 km。

比值 2R = a/sin A = 4/0.5 = 8；b = 8 × sin 45° ≈ 5.657，c = 8 × sin 105° ≈ 7.727。

例 2外接圆：三角形一边 a = 6，对角 A = 30°，求外接圆半径。R = 6/(2 × 0.5) = 6——对角 30° 恰是圆周角，弦长等于半径对应 60° 圆心角，与几何直觉一致。

R = a ÷ (2sin A) = 6 ÷ 1 = 6。

例 3SSA 两解：a = 5、b = 8、A = 30°，sin B = 8 × 0.5/5 = 0.8，B₁ ≈ 53.13° 或 B₂ ≈ 126.87°，对应两组三角形（C 分别约 96.87° 与 23.13°）。

因为 a < b 且 A 为锐角，钝角解同样成立——这正是 SSA 歧义的来源。

注意事项

SSA 歧义判定：a ≥ b 时唯一；a < b 时比较 a 与 b·sin A——a < b·sin A 无解，a = b·sin A 恰一直角解，a > b·sin A 两解。计算器自动判定并提示。
反求角度时先算短边所对的角：短边必对小角（锐角），可避免把钝角误判成补角；长边对角若 sin 值相同则在钝角与锐角之间二选一。
角度输入按小数度（45.5° 而非 45°30′），内角和自动按 180° 收口，浮点舍入可能带来 ±0.01° 的尾差。
正弦定理只处理「边与其对角」的对应关系，不涉及夹角；凡是条件里出现「两边及夹角」或「三边」，直接改用余弦定理。

常见问题

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R b = a·sin B ÷ sin A R = a ÷ (2sin A) A + B + C = 180°。已知两角与一边时：先由内角和求出第三角，再用比值求另外两边。例：A = 30°、B = 45°、a = 4，则 C = 105°；b = 4 × sin 45° ÷ sin 30° = 4 × 0.7071 ÷ 0.5 ≈ 5.657；c = 4 × sin 105° ÷ 0.5 ≈ 7.727。外接圆半径 R = 4 ÷ (2 × sin 30°) = 4。在正弦定理计算器 - 角边互求与外接圆半径在线计算计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

SSA 歧义判定：a ≥ b 时唯一；a < b 时比较 a 与 b·sin A——a < b·sin A 无解，a = b·sin A 恰一直角解，a > b·sin A 两解。计算器自动判定并提示；反求角度时先算短边所对的角：短边必对小角（锐角），可避免把钝角误判成补角；长边对角若 sin 值相同则在钝角与锐角之间二选一。其余细节见页面注意事项一节。

测绘：从基线 a = 4 km 的两端观测远处目标，两个张角分别为 30° 和 45°，求目标到两端的距离。C = 105°，b = 4·sin45°/sin30° ≈ 5.657 km，c = 4·sin105°/sin30° ≈ 7.727 km。：比值 2R = a/sin A = 4/0.5 = 8；b = 8 × sin 45° ≈ 5.657，c = 8 × sin 105° ≈ 7.727。

首先，第一步：选模式——「两角与一边」走 AAS/ASA，无歧义；「两边与一边的对角」走 SSA，注意歧义提示。然后，第二步：输入已知角与边，角度用小数度，边长单位保持一致。全程在页面内完成，结果即时更新。

正弦定理说的是：三角形中每条边与它对角的正弦之比处处相等——a/sin A = b/sin B = c/sin C，且这个比值恰好等于外接圆直径 2R。它把「角」的信息直接翻译成「边」的信息，是解三角形两大定理中的另一个（已知两边夹角或三边时用余弦定理）。

两者同属相关计算链条：余弦定理计算器 - 已知两边夹角求第三边在线计算解决的是与之衔接的另一层问题。完成正弦定理计算器 - 角边互求与外接圆半径在线计算计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到余弦定理计算器 - 已知两边夹角求第三边在线计算继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

外接圆：三角形一边 a = 6，对角 A = 30°，求外接圆半径。R = 6/(2 × 0.5) = 6——对角 30° 恰是圆周角，弦长等于半径对应 60° 圆心角，与几何直觉一致。：R = a ÷ (2sin A) = 6 ÷ 1 = 6。

输入已知角与边。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

本页正弦定理计算器 - 角边互求与外接圆半径在线计算计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

2R 是外接圆直径。任取三角形一边（如 AB），圆周角定理保证对边所张圆周角恒等于内角 A，于是弦长 c = 2R·sin C 对每个顶点都成立，比值因此统一为 2R。

SAS 中夹角被两条已知边锁定，三角形唯一；SSA 中已知角是「对角」，钝角与锐角两种摆位都可能让第三边落在合法位置，几何上像铰链的两个停驻状态。

任取两边及其夹角：S = ½ab·sin C；或求出三边后用海伦公式。两种路径结果一致，可互为验算。

能。直角所对斜边恰为外接圆直径 2R，此时正弦定理与直角三角形边角关系（对边 = 斜边 × sin 角）完全等价，但直接用勾股定理更简单。

参考资料

凯文内容作者Calcton 数学编辑组口径审核Calcton 编辑组交叉审核· 内容更新于 2026-05-14

负责 Calcton 的公式核对与内容撰写：每个工具的公式都注明出处，示例数字经过程序复算，健康与判定标准一律采用国际口径。

Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。

参考来源与更新说明

本页公式与判定标准参考以下权威资料：

最后更新：2026-05-14。

免责声明：本页面提供的计算结果与说明内容仅供参考，不构成医疗、税务、投资或法律等专业建议。尽管我们力求公式与数据准确，仍可能存在误差；据此做出的任何决策，请结合专业机构意见。

什么是正弦定理计算器？

如何使用正弦定理计算器

计算示例

注意事项

常见问题

参考资料

引用本页

相关术语

把这个计算器嵌入到你的网站

参考来源与更新说明

什么是正弦定理计算器？

如何使用正弦定理计算器

计算示例

注意事项

常见问题