三角函数计算器

**三角函数是直角三角形中「边之比」的名字。** 直角三角形里选定一个锐角 A：sin A = 对边÷斜边、cos A = 邻边÷斜边、tan A = 对边÷邻边，口诀 SOH-CAH-TOA。三条边长两两能组成六个比，另外三个 cot、sec、csc 分别是 tan、cos、sin 的倒数。这定义里藏着一个深刻的事实：比值只由角度决定，与三角形大小无关——3-4-5 的三角板和 30-40-50 的楼梯，同一个 36.87° 角给出完全相同的 sin 值。要覆盖任意角度（钝角、超过 360°、负角），定义需升级为**单位圆**：以原点为圆心、半径 1 画圆，从正 x 轴逆时针旋转 θ 角，终边与圆的交点坐标就是 (cos θ, sin θ)。坐标自带正负号，四个象限的符号规律（ASTC：一全正、二正弦、三正切、四余弦）由此一目了然。

**30°、45°、60° 的值值得精确记忆，因为它们是考试的常客、工程的基准。** sin 30° = 1/2、cos 30° = √3/2、tan 30° = √3/3；sin 45° = √2/2、tan 45° = 1；sin 60° = √3/2、cos 60° = 1/2、tan 60° = √3。口诀：sin 的 30-45-60 依次是 √1/2、√2/2、√3/2——根号里 1、2、3 递增，cos 正好倒过来。这些值来自两个经典图形：等边三角形对半劈开得 30-60-90（边比 1:√3:2），等腰直角三角形得 45-45-90（边比 1:1:√2）。再进一步，15° 与 75° 可用和差公式 sin(45°−30°) 推出含 √6±√2 的精确值；18°、36°、54°、72° 出自正五边形与黄金分割——sin 18° = (√5−1)/4 恰好是黄金比例 φ 的函数。本工具的求值模式对任意象限的特殊角直接显示精确值：120° 会显示 cos = −1/2，而不是 −0.5000000000000001。

**角度制把一周分成 360 份，弧度制直接用弧长度量——数学分析只认弧度。** 180° = π rad，1 rad ≈ 57.29577951°，是弧长等于半径时对应的圆心角。换算公式就一句：度数 × π/180 = 弧度，弧度 × 180/π = 度数。为什么高等数学偏爱弧度？因为只有弧度制下导数公式 (sin x)′ = cos x 才不带系数，小角近似 sin x ≈ x 才成立；角度制下这两条都会多出一个丑陋的 π/180 因子。常见对应关系：30° = π/6、45° = π/4、60° = π/3、90° = π/2、180° = π、270° = 3π/2、360° = 2π。工程测绘领域还有第三种单位**百分度**（gon）：直角 = 100 gon，整圈 400 gon，十进制进位方便水准测量内业计算，本工具换算模式同样支持。

**处理任意角度的万能流程是「归一 → 定象限 → 取参考角」。** 三角函数以 360°（tan 以 180°）为周期：390° 与 30° 终边相同，函数值完全相等；−150° 与 210° 同理。所以第一步永远是把角归到 [0°, 360°)。第二步看终边落在第几象限，按 ASTC 定符号：sin 在一二象限为正、cos 在一四象限为正、tan 在一三象限为正。第三步取**参考角**——终边与 x 轴的锐角夹角，任何角的函数值绝对值都等于其参考角的函数值。例：120° 在第二象限，参考角 60°，cos 在二象限为负，故 cos 120° = −cos 60° = −1/2。特殊角的余弦值取负即可，这就是「全背一整圈函数表」的替代方案：只背第一象限，其余象限用参考角现推。本工具的求值模式把这个流程完整列成计算步骤，并在单位圆上画出终边与参考角。

**反三角函数回答的是「值反过来找角」，难点在于多解。** 正弦函数在整个圆周上不是一一对应的：sin 30° 和 sin 150° 都等于 1/2，所以「arcsin(1/2) 等于多少」必须先约定取值范围——这就是**主值**：arcsin 约定在 [−90°, 90°]、arccos 约定在 [0°, 180°]、arctan 约定在 (−90°, 90°)。计算器按主值给出唯一答案，但解三角方程时往往要找回周期内的全部解：sin θ = 1/2 在 0°,360°) 内有 30° 与 150° 两解，cos θ = 1/2 有 60° 与 300° 两解，tan θ = 1 有 45° 与 225° 两解——本工具反三角模式把主值与全部解一并列出。三角学的出身是天文测量：公元二世纪托勒密的弦表就是世界上第一张「函数表」，而「解三角形」至今仍是测量学的日常——知道一边一角求其余，与[勾股定理计算器是同一枚硬币的两面：勾股管边，三角管角。