裂项相消求和计算器

裂项相消的核心技巧：1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)。级数展开后中间项全部抵消（像望远镜收起）：(1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/n−1/(n+1)) = 1 − 1/(n+1) = n/(n+1)。

部分分式分解是裂项的通用武器：1/(k(k+2)) = (1/2)(1/k − 1/(k+2))，隔项抵消后剩两项。n→∞ 时 1/(n+1)→0，无穷级数和 = 1——有限与无穷在裂项中完美衔接。

裂项相消是把「长链压缩成两端」的艺术：每项拆成 F(k) − F(k+1) 的形式，相加时中间所有项像手风琴一样成对消掉，只剩下最前面的 F(1) 和最后面的 −F(n+1)。英文叫 telescoping（望远镜）——长长的镜筒收成一小截，形象至极。它与错位相减并称求和两大巧法：错位相减对付等比结构，裂项相消对付分式与递推结构。

裂项的难点不在相消而在「怎么拆」。三大信号：① 分母是相邻因子之积 k(k+1)——用待定系数拆成部分分式；② 根式之和作分母 √k+√(k+1)——分子分母同乘共轭，分母变 1，分子自然裂开；③ 阶乘相邻 k·k!——配凑成 (k+1)! − k!。所有拆法的目标一致：凑出 F(k) − F(k+1) 的望远镜结构。拆完后建议取前两项展开验证相消模式，确认「保留哪些端点项」再写结论。

裂项相消与定积分有深刻血缘：Σ[F(k) − F(k+1)] = F(1) − F(n+1) 就是离散版微积分基本定理 ∫f′ = f(b) − f(a)——「差分」对应「微分」，「求和」对应「积分」。理解这层对应，遇到陌生通项时就能反向设计：想找 Σg(k) 的裂项，先猜谁的差分是 g(k)。这也是组合数学中 Gosper 算法（判定超几何项可否裂项）的思想源头。