二项式乘法计算器

什么是二项式乘法计算器？

两个一次二项式相乘必得二次三项式（可退化为完全平方）。展开的四个乘积两两合并同类项，只剩三个系数。

FOIL 只是分配律的助记：First（首×首给 x²）、Outer（外×外）、Inner（内×内）、Last（末×末），外内两项合并成一次项系数。

(ax + b)(cx + d) = ac·x² + (ad + bc)·x + bd

x² 系数 = ac；一次项系数 = 外积 ad + 内积 bc；常数项 = bd。展开后再算判别式 (ad + bc)² − 4acbd 可直接判断方程 ax² + (ad+bc)x + bd = 0 的根的情况。

如何使用二项式乘法计算器

1
输入第一个二项式的 a 与 b
2
输入第二个二项式的 c 与 d
3
点击展开，得到三项式与判别式
4
观察是否为完全平方或可因式分解

计算示例

例 1常规展开

(2x + 3)(4x − 5)：ac = 8，ad + bc = −10 + 12 = 2，bd = −15，得 8x² + 2x − 15。

例 2完全平方

(x + 2)(x + 2)：ac = 1，ad + bc = 2 + 2 = 4，bd = 4，得 x² + 4x + 4，即 (x + 2)²。当 a = c 且 b = d 时必得完全平方式。

注意事项

系数为 1 时展开式里省略不写，如 (x + 2)(x − 5) 的 x² 系数仍是 1×1。
中间项符号最容易错：外积与内积分别带各自的符号再相加。
当两个二项式相同（或互为相反系数）时结果是完全平方（或平方差）。平方差 (a+b)(a−b) = a² − b² 的中间项为 0。
展开与因式分解互逆：展开结果若判别式非负，总可分解回两个一次因式。
系数支持分数与小数，展开规则完全相同，先通分再算可减少错误。
三项以上乘积不要硬套 FOIL，应逐项分配，FOIL 仅适用于两个一次二项式。

常见问题

(ax + b)(cx + d) = ac·x² + (ad + bc)·x + bd。 x² 系数 = ac；一次项系数 = 外积 ad + 内积 bc；常数项 = bd。展开后再算判别式 (ad + bc)² − 4acbd 可直接判断方程 ax² + (ad+bc)x + bd = 0 的根的情况。在二项式乘法计算器 - FOIL 展开与判别式计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

系数为 1 时展开式里省略不写，如 (x + 2)(x − 5) 的 x² 系数仍是 1×1；中间项符号最容易错：外积与内积分别带各自的符号再相加。其余细节见页面注意事项一节。

常规展开：(2x + 3)(4x − 5)：ac = 8，ad + bc = −10 + 12 = 2，bd = −15，得 8x² + 2x − 15。

首先，输入第一个二项式的 a 与 b 然后，输入第二个二项式的 c 与 d 全程在页面内完成，结果即时更新。

两个一次二项式相乘必得二次三项式（可退化为完全平方）。展开的四个乘积两两合并同类项，只剩三个系数。

两者同属相关计算链条：十字相乘因式分解计算器 - 二次三项式分解解决的是与之衔接的另一层问题。完成二项式乘法计算器 - FOIL 展开与判别式计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到十字相乘因式分解计算器 - 二次三项式分解继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

完全平方：(x + 2)(x + 2)：ac = 1，ad + bc = 2 + 2 = 4，bd = 4，得 x² + 4x + 4，即 (x + 2)²。当 a = c 且 b = d 时必得完全平方式。

输入第一个二项式的 a 与 b。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

本页二项式乘法计算器 - FOIL 展开与判别式计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

First、Outer、Inner、Last 四个首字母：首项积、外项积、内项积、末项积，合并外内即得一次项。

来自外积 ad 与内积 bc 这两个同类项相加，几何上是长方形面积拆成四块后两个矩形的并。

可以。只要判别式 (ad+bc)² − 4acbd ≥ 0，展开式就能分解回两个一次因式（可能带分数系数）。

十字相乘是反向操作：找两个数使其积为 bd、和为 ad+bc，正是本工具输入的两个二项式系数。

照常代入公式，符号跟随各自系数参与乘加，展开后务必复查中间项符号。

参考资料

凯文内容作者Calcton 数学编辑组口径审核Calcton 编辑组交叉审核· 内容更新于 2026-06-06

负责 Calcton 的公式核对与内容撰写：每个工具的公式都注明出处，示例数字经过程序复算，健康与判定标准一律采用国际口径。

Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。

参考来源与更新说明

本页公式与判定标准参考以下权威资料：

最后更新：2026-06-06。

免责声明：本页面提供的计算结果与说明内容仅供参考，不构成医疗、税务、投资或法律等专业建议。尽管我们力求公式与数据准确，仍可能存在误差；据此做出的任何决策，请结合专业机构意见。

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