二次剩余计算器
输入 a 与奇素数 p，用欧拉准则 a^((p−1)/2) mod p 判断 a 是否为模 p 的二次剩余。
什么是二次剩余计算器？
a 是模 p 的二次剩余：存在 x 使 x² ≡ a (mod p)——即 a 在模 p 世界里是「平方数」。勒让德符号 (a/p) = 1 表示是，−1 表示非剩余，0 表示 p | a。
欧拉准则给出计算捷径：(a/p) ≡ a^((p−1)/2) (mod p)。5 是否为模 11 的二次剩余？5⁵ = 3125 ≡ 1 (mod 11)——是（4² = 16 ≡ 5）。高斯的二次互反律把这个判断变成机械运算，被誉为「数论之酵母」。
二次互反律被高斯称为「黄金定理」（theorema aureum），他一生给出八个不同的证明，视之为数论的皇冠。定律断言：对不同的奇素数 p、q，(p/q) 与 (q/p) 的关系只由 p、q 模 4 的形态决定——除非两者都 ≡3 (mod 4)，否则两者同号。这条「互反」的深层结构后来催生了类域论与朗兰兹纲领，是整个代数数论的源头。
欧拉准则把「是否二次剩余」从搜索问题变成一次幂运算：a^((p−1)/2) ≡ ±1 (mod p)，符号即答案。证明用费马小定理：a^(p−1)≡1，故 a^((p−1)/2) 是 1 的平方根，只能 ±1；若 a≡x² 则 a^((p−1)/2)≡x^(p−1)≡1。配合快速幂，千位素数的判定也是毫秒级——这正是密码协议能实时执行的原因。
二次剩余的直接应用藏在现代密码的缝隙里：Rabin 加密的安全性等价于因数分解；Goldwasser-Micali 概率加密用「伪平方」构造语义安全；Blum-Blum-Shub 随机数生成器基于模合数的平方迭代；电子抛币协议（coin flipping by telephone）利用模 n=pq 下开平方的困难实现公平。想判断一般的模运算问题，可配合模幂计算器验证中间步骤。
(a/p) ≡ a^((p−1)/2) (mod p)，取值 {1, −1, 0}；欧拉准则；二次互反律：(p/q)(q/p) = (−1)^((p−1)(q−1)/4)。
示例：判定 5 是否模 11 的二次剩余：5^((11−1)/2)=5⁵=3125≡1 (mod 11)，勒让德符号 (5/11)=+1——是（4²≡5）。而 2⁵=32≡10≡−1，(2/11)=−1，不是。
| a | a⁵ mod 11 | (a/11) | 是否有平方根 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | +1 | ±1 |
| 2 | 10 ≡ −1 | −1 | 无 |
| 3 | 1 | +1 | ±5 |
| 4 | 1 | +1 | ±2 |
| 5 | 1 | +1 | ±4 |
| 6 | 10 ≡ −1 | −1 | 无 |
| 7 | 10 ≡ −1 | −1 | 无 |
如何使用二次剩余计算器
- 1
输入整数 a 与奇素数 p。
- 2
系统用快速幂计算欧拉准则。
- 3
点击「计算」，查看勒让德符号值与平方根（若存在）。
计算示例
例 1a = 5，p = 11
5⁵ = 3125 = 284×11 + 1 ≡ 1 → 是二次剩余；验证 4² = 16 ≡ 5，7² = 49 ≡ 5（平方根成对出现）。
例 2a = 2，p = 7
2³ = 8 ≡ 1 → 是二次剩余；3² = 9 ≡ 2。口诀：2 是模 p 二次剩余 ⇔ p ≡ ±1 (mod 8)。
例 3用互反律速算 (3/13)
3≡3 (mod 4)，13≡1 (mod 4)——不同时为 3，故 (3/13)=(13/3)=(1/3)=+1。验证：4²=16≡3 (mod 13)，确实成立。
例 4模 7 的二次剩余清单
1²≡1, 2²≡4, 3²≡2, 4²≡2, 5²≡4, 6²≡1——二次剩余为 {1,2,4}，恰好 (7−1)/2=3 个；非剩余为 {3,5,6}。奇素数下两者永远各半。
例 5−1 何时是二次剩余
(−1/p)=(−1)^((p−1)/2)：p≡1 (mod 4) 时为 +1，p≡3 (mod 4) 时为 −1。所以模 13 下 −1≡12 有平方根（5²=25≡12），模 7 下没有。
注意事项
模 p 的非零剩余中恰有一半是二次剩余（(p−1)/2 个）。
勒让德符号完全积性：(ab/p) = (a/p)(b/p)——分解后逐个判断。
二次互反律把 (p/q) 化为 (q/p)，大数判断瞬间化小。
合数模的对应概念是雅可比符号（计算相同但含义有差别）。
勒让德符号 (a/p) 要求 p 为奇素数；合数模的推广是雅可比符号，但 (a/n)=+1 不再保证 a 是模 n 的二次剩余——这是 Rabin 密码的安全枢纽。
求平方根本身是另一个问题：判定用欧拉准则，求根用 Tonelli-Shanks 算法（p≡3 (mod 4) 时直接 a^((p+1)/4) 出根）。
二次剩余恰好占非零剩余的一半：映射 x→x² 在奇素数模下是二对一的，这解释了表中对称的根分布（±x 同平方）。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-04-30
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-04-30。
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