三角形四心计算器

三角形有四颗「心」：外心（三边垂直平分线交点，外接圆圆心）、内心（角平分线交点，内切圆圆心）、重心（中线交点）、垂心（高线交点）。其中两个有直接的半径公式：R = abc/(4S)，r = S/p（p 为半周长，S 为面积）。

欧拉不等式 R ≥ 2r 揭示了两者的内在约束（等边三角形取等号）。13-14-15 三角形：S = 84，R = 13×14×15/(4×84) = 8.125，r = 84/21 = 4——恰为欧拉不等式的实例。

三角形四心是「四种公平性」的几何化身：重心是质量的公平（三块等密度三角形板的平衡点），外心是距离的公平（到三顶点等距），内心是边界的公平（到三边等距），垂心则是高线方向的共点奇迹。1736 年欧拉证明外心、重心、垂心三点共线（欧拉线）且重心永远把外垂段按 1:2 分割——四个「心」不是散兵游勇，而是一条线上的共和国。等边三角形是唯一的「独裁」：四心合一。

两个半径公式 R=abc/(4S) 与 r=S/p 是四心里最实用的计算接口：R 联系着正弦定理（a/sinA=2R），r 联系着切线长分割（三边被切点分成 p−a, p−b, p−c 六段）。欧拉不等式 R≥2r（等号 ⟺ 等边）给出两者的普适约束，而欧拉公式 OI²=R²−2Rr 更进一步：外心与内心的距离被两个半径完全锁定——这意味着只要 R 与 r 确定，内外两心的相对位置就是定数。

四心的现代意义远超平面几何：重心坐标（barycentric coordinates）是计算机图形学纹理插值与有限元分析的基石；外接圆圆心定位是 Voronoi 图/Delaunay 三角剖分的对偶核心（Delaunay 空圆性质的判据就是外心）；内心与旁心构成的「三角形内的三角形」在机器人路径规划的通道收缩中反复出现。动手验证时可配合三角形中线计算器与海伦公式计算器交叉核对。