矩阵幂计算器

矩阵幂 A^n 用快速幂计算：n 写成二进制，A¹、A²、A⁴、A⁸… 逐次平方，对应位为 1 则乘入——log₂(n) 次乘法搞定。n=100 只需 7 次矩阵乘法而非 99 次。

杀手级应用是加速线性递推：斐波那契 [[1,1],[1,0]]ⁿ 的左下角就是 F(n)。求 F(10¹⁸) 这样的天文项数，递推法要算到宇宙尽头，矩阵快速幂 60 次乘法出结果。

矩阵幂 Aⁿ 表示把线性变换 A 连续施加 n 次。直接连乘需要 n−1 次矩阵乘法，指数稍大就不可行。快速幂（二进制幂）把指数写成二进制 n=Σbᵢ·2ⁱ，于是 Aⁿ=∏A^(2ⁱ)——通过不断平方得到 A²、A⁴、A⁸…，再按二进制位挑选相乘，乘法次数从 O(n) 降到 O(log n)。这个技巧与标量快速幂同源，在矩阵上威力更大，因为单次矩阵乘法本身就很贵。

矩阵幂最著名的应用是斐波那契数列：[[1,1],[1,0]]ⁿ 的元素恰好是连续斐波那契数，用快速幂可以在 O(log n) 次乘法内算出 F₁₀₀₀₀₀₀——而递推法需要一百万步。同样的套路适用于一切线性递推：卡塔兰数、卢卡斯数、任何常系数线性齐次递推关系，都能装进矩阵然后快速幂。竞赛编程中这是标准武器。

矩阵幂的长期行为由特征值谱主导：所有特征值模小于 1 则 Aⁿ→0（马尔可夫链的瞬态消亡）；有等于 1 的特征值则收敛到稳态（Google PageRank 的幂迭代正是求转移矩阵的极限分布）；有模大于 1 的特征值则发散。矩阵幂还定义了矩阵指数 e^A=ΣAⁿ/n!——线性微分方程组的解算子，量子力学演化算符的核心。

矩阵幂的应用远不止加速递推：马尔可夫链中状态转移矩阵的 n 次幂给出 n 步后的概率分布——搜索引擎排名、PageRank 收敛分析都是它的变体。当 n → ∞ 时某些矩阵幂会收敛到一个稳态（与初始分布无关），这个稳态恰好是特征值 1 对应的特征向量。

负数次幂也成立：A⁻¹ 是逆矩阵（前提可逆），A⁻ⁿ = (A⁻¹)ⁿ。分数次幂（如 A^(1/2)，即矩阵平方根）则更加复杂——布朗运动的协方差结构、各向异性扩散滤波、与计算机图形学中的颜色变换都用到了矩阵平方根。本工具目前处理整数幂（含负整数幂，仅对可逆矩阵适用）。