组合排列计算器

组合（Combination）与排列（Permutation）是计数问题的两大基本工具。组合回答「从 n 个不同物品中选出 r 个，有多少种选法」——不考虑顺序，选 A、B 和选 B、A 是同一种。排列回答「从 n 个中选出 r 个排成一列，有多少种排法」——考虑顺序，AB 和 BA 是两种。

组合数 C(n,r) = n! ÷ (r! × (n-r)!)，排列数 P(n,r) = n! ÷ (n-r)!。两者的关系是 P(n,r) = C(n,r) × r!——每种组合对应 r! 种排列。

组合数在概率论中无处不在：从 52 张牌中选 5 张的扑克组合 C(52,5) = 2,598,960 种，这直接决定了德州扑克各牌型的概率。

当 n 很大时，组合数会迅速超出普通数字的表示范围。C(100,50) ≈ 1.0 × 10²⁹，C(1000,500) 有超过 300 位数字。本工具使用 BigInt 精确计算，不做浮点近似，支持 n 至 10000。

组合数的性质极为丰富，最著名的是对称性 C(n,k) = C(n,n−k)：从 n 个中选 k 个，等价于选 n−k 个「不要」。这个性质能大幅简化计算——C(100,98) 直接算要约掉 98 项，转成 C(100,2) = 100×99/2 = 4950 一秒出答案。另一个常用递推是帕斯卡法则 C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k)，它正是帕斯卡三角形（杨辉三角）的构造规则：每个数等于肩上两数之和。

组合数是二项式定理的核心：(a+b)ⁿ 展开式的各项系数恰好是 C(n,0)、C(n,1)、…、C(n,n)，因此组合数也叫二项式系数。它还出现在超几何分布（不放回抽样）、彩票赔率计算、赛制编排、密码学密钥空间估算等场景中。需要注意与排列的本质区别：排列讲顺序（AB 与 BA 不同），组合不讲（{A,B} 只有一个），同一批对象的排列数总是组合数的 k! 倍。