笛卡尔符号法则计算器

笛卡尔符号法则：正根个数 = 系数序列变号次数（或比它少偶数个）。数变号时跳过 0 系数。x³−3x²+2x+5 −… 系数 [1,−3,2,5,−1] 的变号：+→−(1次)、−→+(2次)、+→−(3次)，正根 3 个或 1 个。

负根的判法：把 x 换成 −x 再数变号。f(−x) 的系数是原系数奇次项变号后的序列。配合「虚根成共轭对」与根的总数 n，能推知根的全貌——不解方程先断根情。

笛卡尔符号法则发表于 1637 年《几何学》附录（与解析几何同书诞生），内容简洁到令人惊讶：把多项式按降幂排列、数系数符号变化的次数 V，正实根个数（按重数计）要么等于 V，要么比 V 少一个偶数。它不解方程，却用三次心算就能告诉你根的"人口分布"——在无法求根的 17 世纪，这是压倒性的实用工具。

"少一个偶数"的约束来自代数基本定理：n 次多项式恰有 n 个复根（按重数），虚根必成对出现（实系数多项式的共轭性）。所以正根数与 V 同奇偶、且不超过 V。这个观察把根分布问题转化为纯计数——例如 V=1 时可以直接断言"恰有 1 个正根"，无需任何求解。想验证虚根成对性可用复数计算器动手算几组。

法则的推广链同样精彩：傅里叶与布当把它升级为"傅里叶-布当定理"，能给出任意区间内实根数的上界；施图姆定理（1829）更进一步，用施图姆序列变号数精确给出区间内实根个数，成为计算机代数系统隔离实根的标准方法。现代数值软件求多项式全部实根时，流程往往就是：施图姆隔离 → 二分法或牛顿法精化。