复数计算器

复数 z = a + bi，其中 i² = −1。四则运算规则：加减对应分量相加减（(3+4i)+(1−2i) = 4+2i）；乘法按分配律展开并代入 i² = −1（(3+4i)(1−2i) = 3−6i+4i−8i² = 11−2i）；除法用共轭有理化：分子分母同乘分母的共轭（a−bi），分母变为实数 a²+b²。

复数的几何形象是复平面上的点（实部横轴、虚部纵轴），于是有了两个灵魂属性：模 |z| = √(a²+b²)（到原点距离，3+4i 的模是 5）与辐角 θ = arctan(b/a)（方向角）。极形式 z = r(cosθ + i sinθ) = re^iθ 让乘除变简单：模相乘除、辐角相加减——乘法即"旋转+缩放"，这就是复数的几何本质。

曾被视为"不可能存在的数"的虚数，如今是工程学的空气：交流电路中阻抗 Z = R + jωL（相位差自动编码进复数）、信号处理的傅里叶变换全程复数运算、量子力学的波函数本质就是复值函数、流体力学的势流分析靠复变函数。欧拉恒等式 e^iπ + 1 = 0 把五个基本常数一线串起，被誉为最美公式。

虚数单位 i 定义为 i² = −1，它不是「不存在的数」，而是二维平面上「旋转 90°」的代数化身。乘以 i 就是把向量逆时针转 90°：1 乘 i 得 i（指向上），再乘 i 得 −1（指向左）——连续两次 90° 旋转等于 180° 翻转，代数与几何严丝合缝。欧拉公式 e^(iπ) + 1 = 0 把五个最基础的常数缝进一个等式，被称为最美公式。

复数不是数学游戏，而是工程刚需：交流电路里阻抗 Z = R + jX（工程师用 j 避免与电流 i 混淆），电容电感的相位差全靠复数表达；信号处理中傅里叶变换把任何信号分解成复指数叠加；量子力学的波函数本身就是复值函数。本工具与极坐标转换共享模与辐角的几何内核。