部分分式分解计算器
部分分式分解把复杂分式拆成若干"简单块"，是积分与拉普拉斯变换的前置技能；本计算器处理两个不同线性因子的标准情形。
什么是部分分式分解计算器？
当分子次数低于分母、且分母可分解为两个不同的一次因子 (x−a)(x−b) 时，有理式可以唯一写成 (px+q)/((x−a)(x−b)) = A/(x−a) + B/(x−b)，A、B 就是覆盖系数。
求系数用"覆盖法"最快：求 A 时把分子 p x + q 在 x=a 处取值，除以 (a−b)，即 A = (p·a+q)/(a−b)；同理 B = (p·b+q)/(b−a)。原理是代入 x=a 后等式右边的 A/(x−a) 项系数被"孤立"。
拆分后每一块都是标准积分 ∫dx/(x−c) = ln|x−c|+C，原式的积分立刻可写为对数组合——这正是部分分式在微积分里的核心用途。
A = (p·a + q)/(a − b)，B = (p·b + q)/(b − a)，其中 a、b 是分母的根；结果 (px+q)/((x−a)(x−b)) = A/(x−a) + B/(x−b)
适用于分母为两个不同一次因子且分子为一次（或常数）的情形；重根、二次因子、高次分子需另行设待定系数。
如何使用部分分式分解计算器
- 1
把分子整理成 p x + q，分母整理成 (x−a)(x−b)，输入四个参数（p、q、a、b）。
- 2
点击计算，得到 A、B 与分解结果，并显示积分形式 A·ln|x−a| + B·ln|x−b|。
- 3
代回一个测试点（如 x=0）验证左右两边相等，确认拆分无误。
计算示例
例 1例：(3x+5)/((x+1)(x+2))
根 a=−1、b=−2：A = (3×(−1)+5)/((−1)−(−2)) = 2，B = (3×(−2)+5)/((−2)−(−1)) = 1，∴ 原式 = 2/(x+1) + 1/(x+2)。验证 x=7：左边 26/72，右边 2/8 + 1/9 = 0.3611 = 26/72 ✓。积分 = 2ln|x+1| + ln|x+2| + C。
注意事项
分母有重根 (x−a)² 时需设 A/(x−a) + B/(x−a)² 两项；二次不可约因子对应 Ax+B/(x²+px+q)。
分子次数≥分母时先做多项式除法，把"多项式 + 真分式"的部分再分解，直接套覆盖法会漏项。
a、b 必须不同：a=b 时公式分母为零，对应重根情形，结果不是唯一拆分。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-06-06
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Calcton. 部分分式分解计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/partial-fraction-decomposition, 2026-06-06.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-06-06。
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