摆线计算器
圆沿直线滚动时，圆周上一点画出的轨迹就是摆线。它是最速降线问题的答案，也是摆线齿轮齿形的理论基础。这个计算器输入滚圆半径，直接得到一个拱的弧长、面积与任意参数处的坐标。
什么是摆线计算器？
摆线参数方程：x = r(t − sin t)，y = r(1 − cos t)，t 为滚圆转过的角度（弧度）。t 从 0 到 2π 画出一个拱。
一个拱的弧长为 8r，拱下面积为 3πr²，拱高为 2r——这三个漂亮的结果由伽利略、帕斯卡等人在微积分诞生前后逐步解决。
摆线的等时性：从拱上任意一点滑到最低点所需时间相同，这正是钟表摆线齿轮与惠更斯摆的理论基础。
弧长 L = 8r；面积 A = 3πr²；拱高 h = 2r
参数 t 以弧度输入，坐标按 x = r(t − sin t)、y = r(1 − cos t) 计算，y 轴向上为正、起点在原点。
如何使用摆线计算器
- 1
输入滚圆半径 r。
- 2
查看一个拱的弧长、拱下面积与拱高。
- 3
如需轨迹上某点坐标，输入参数 t 得到 (x, y)。
- 4
用于最速降线分析时，可直接引用弧长与等时性结论。
计算示例
例 1半径 2 的摆线拱
弧长 = 8 × 2 = 16，拱下面积 = 3π × 4 ≈ 37.6991，拱高 = 4。参数 t = π/2 处坐标：x = 2(π/2 − 1) ≈ 1.1416，y = 2(1 − 0) = 2。
例 2齿轮齿形校核
节圆半径 10 mm 的摆线齿廓，一个理论拱弧长 80 mm，可用其参数方程生成齿形点列进行数控加工插值。
注意事项
摆线与内摆线、外摆线不同：后者是圆沿另一圆滚动，轨迹形状随两圆半径比变化，公式也不相同。
弧长 8r 与面积 3πr² 是单个拱的量，多拱情形按拱数线性叠加。
最速降线是倒置的摆线拱，比较路径优劣时要保证起终点一致。
实际钟表摆线擒纵中使用的近似圆弧与真摆线有细微偏差，精密计时设计需查表修正。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-06-05
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Calcton. 摆线计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/cycloid, 2026-06-05.
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最后更新：2026-06-05。
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