预测区间计算器

回归预测有两层不确定性：① 均值响应的置信区间——「x=25 时平均销售额落在哪」；② 个别值的预测区间——「下一个 x=25 的店铺销售额落在哪」。后者更宽，因为还要加上个体噪声。

区间公式 ŷ ± t(α/2, n−2) × SE：置信区间 SE = s√(1/n + (x₀−x̄)²/Sxx)，预测区间 SE = s√(1 + 1/n + (x₀−x̄)²/Sxx)。预测点离数据中心越远，区间越宽——外推需谨慎。

回归线上每一点其实藏着两个不同的问题：「x₀ 处的平均响应是多少」与「x₀ 处的下一个观测会是多少」。前者问的是趋势线的位置——样本越多定得越准，所以置信区间的误差项只有 1/n 与杠杆项；后者问的是单个新观测的落点——无论样本多大，新观测自身带着不可消除的噪声 s²，这就是预测区间根号里多出来的那个「1」。它让预测区间永远比置信区间宽，且 n→∞ 时收敛到 ŷ±t·s 而不是一个点。

两个区间的形状都是「中间窄、两端宽」的喇叭口：杠杆项 (x₀−x̄)²/Sxx 度量 x₀ 离数据中心多远——离均值越远，回归线的「跷跷板」摆动越大，不确定性随距离平方增长。这给出一条重要的实践纪律：在数据范围之外做预测（外推）时，区间会急剧变宽，而那还只是「模型正确」假设下的不确定性；模型形式本身在域外失效的风险，区间根本看不见。预测区间诚实地标出了数据的势力范围。

95% 预测区间的正确解读常考常错：它不是「这个区间以 95% 概率包含下一个观测」（区间本身随机），而是「用这个流程反复构造的区间，长期有 95% 能罩住新观测」。贝叶斯学派给出更直觉的版本——后验预测区间，直接回答「下一个观测有 95% 落在哪」，代价是要先设定先验。两种口径在正态大样本下数值接近，小样本时贝叶斯区间更稳。机器学习中的共形预测（conformal prediction）则是分布无关的现代继任者：不假设正态，用校准集的经验分位数构造保证覆盖率的区间。