微分方程求解器

微分方程是含有未知函数导数的方程。一阶常微分方程的一般形式是 y′ = f(x, y)，它的解不是某个数，而是一族函数——通解中含有一个任意常数 C，每取一个 C 就得到平面上一条解曲线。只有再给一个初值条件 y(x₀) = y₀，才能从这族曲线中挑出唯一一条，称为特解。

可分离变量方程是最基础的一类：f(x, y) 能拆成 x 的函数与 y 的函数之积，形如 y′ = X(x)·Y(y)。把含 y 的项移到左边、含 x 的项移到右边，两边分别积分就得到隐式通解，能解出 y 时再整理成显式形式。y′ = x·y、y′ = y·cos(x) 都属于这一类。

一阶线性方程形如 y′ + p(x)·y = q(x)。解法是乘上一个积分因子 μ(x) = e^∫p(x)dx，使左边恰好变成 (μ·y)′，两边积分后除以 μ 即得通解。积分因子法是分析学的标准工具，本工具会自动构造积分因子并展示每一步推导。

方向场把方程「画」了出来：在平面的每个格点上画一小段斜率为 f(x, y) 的线段，解曲线就是处处与这些线段相切的曲线。即使方程没有初等解，方向场依然能直观展示解的走向。本工具目前识别可分离变量与一阶线性两类方程并给出解析解，其余类型会明确提示，不会给出不可靠的结果。

微分方程是「含有导数的方程」，它描述的不是数值而是变化规律本身——自然界几乎所有定律都以微分方程形式出现：牛顿第二定律 F=ma 是二阶方程（位置的二阶导数）、热传导、种群增长、放射性衰变、RC 电路、期权定价（Black-Scholes）都是。解微分方程就是从变化率信息反推出完整的时间演化曲线。

初值问题（IVP）= 方程 + 初始条件。通解中的任意常数 C 由初始条件确定：y′=2x 的通解是 y=x²+C，给定 y(0)=3 则 C=3。解的存在唯一性定理（Picard）保证：f(x,y) 与 ∂f/∂y 在初值点附近连续时，初值问题的解存在且唯一——这解释为什么「初始位置+速度+牛顿定律」能唯一决定行星轨道，是拉普拉斯决定论的数学表述。