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在线定积分计算器

输入被积函数 f(x)（如 x^2、sin(x)、exp(x)、ln(x)），以及积分下限 a 和上限 b（支持数字、pi、e 等常数）。工具首先尝试求解析解——找到原函数 F(x) 后用牛顿–莱布尼茨公式 F(b) − F(a) 计算精确值；若被积函数没有初等原函数（如 ln(x)/x 在一般区间），则自动切换为 Simpson 数值积分，自适应分片保证精度。结果区展示原函数表达式（解析路径）或数值近似值（数值路径），并绘制被积曲线与积分区域的面积图。

定积分计算器

什么是定积分计算器？

定积分计算器插图

定积分 ∫ₐᵇ f(x) dx 的几何意义是曲线 y = f(x) 与 x 轴之间、从 x = a 到 x = b 的有向面积——x 轴上方为正，下方为负。物理中，速度对时间的定积分是位移，力对距离的定积分是功。

计算定积分的核心工具是牛顿–莱布尼茨公式：∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)，其中 F(x) 是 f(x) 的任意一个原函数（即 F′(x) = f(x)）。求原函数的过程叫不定积分，比求导困难得多——很多常见函数（如 e^(−x²)、sin(x)/x、ln(x)/x）没有初等原函数，只能用数值方法近似。

本工具内置了常见函数的原函数表（多项式、三角函数、指数、对数等），能解析求解时优先走解析路径并给出原函数表达式；无法解析时自动切换为 Simpson 数值积分法——将区间分成大量小段，用抛物线逼近每段曲线面积，自适应加密直到精度达标。

不定积分的结果是一族函数（差一个常数 C），定积分的结果是一个确定的数。本工具专注于定积分——给定上下限，输出一个数值。如果需要不定积分（原函数表达式），可参考导数计算器的反向思维。

积分是「把无穷多个无穷小加起来」的艺术：曲边梯形的面积、变速运动的位移、变力做功、概率密度下的概率，全都归结为定积分。微积分基本定理揭示了它与导数的互逆关系——先积分再求导回到原函数，这让「算面积」从穷竭法的艰辛逼近变成「找原函数再代入上下限」的代数操作。物理直觉始终在线：速度曲线下的面积就是位移，力曲线下的面积就是功，密度曲线下的面积就是质量，所有「累积量」都是某个函数的积分。

牛顿–莱布尼茨公式：∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)，其中 F′(x) = f(x) 常用原函数：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)、∫sin x dx = −cos x、∫eˣ dx = eˣ、∫1/x dx = ln|x|

牛顿–莱布尼茨公式：∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a)。例：∫₀² x²dx = [x³/3]₀² = 8/3 ≈ 2.667；∫₁ᵉ (1/x)dx = ln e − ln 1 = 1。对称性速算：奇函数在对称区间积分为 0（∫₋₁¹ x³dx=0）；偶函数折半翻倍。无解析原函数时（如 e^(−x²)）用数值法：梯形法、Simpson 抛物线法，区间剖分越细误差越小。

常用原函数速查（不定积分，省略常数 C）
被积函数 f(x)原函数 F(x)验证 F′(x)典型定积分
xⁿ（n≠−1）xⁿ⁺¹/(n+1)xⁿ ✓∫₀¹x²dx = 1/3
1/xln|x|1/x ✓∫₁ᵉ dx/x = 1
eˣeˣeˣ ✓∫₀¹eˣdx = e−1 ≈ 1.718
sin x−cos xsin x ✓∫₀^π sin x dx = 2
cos xsin xcos x ✓∫₀^(π/2) cos x dx = 1
1/(1+x²)arctan x1/(1+x²) ✓∫₀¹ dx/(1+x²) = π/4

如何使用定积分计算器

  1. 1

    在「被积函数 f(x)」输入框中输入表达式，如 x^2、sin(x)、exp(x)、ln(x)。

  2. 2

    输入积分下限 a 和上限 b——可以是数字（如 0、1、2），也可以是常数 pi 或 e。

  3. 3

    点击「计算」，工具自动判断走解析路径还是数值路径。

  4. 4

    解析路径给出原函数 F(x) 表达式与精确值；数值路径给出高精度近似值。

  5. 5

    结果区下方展示被积曲线与积分区域的面积图，直观理解定积分的几何意义。

计算示例

例 1∫₀¹ x² dx

原函数 F(x) = x³/3。F(1) − F(0) = 1/3 ≈ 0.333333333333。解析解，精确值 1/3。

例 2∫₀^π sin(x) dx

原函数 F(x) = −cos(x)。F(π) − F(0) = −cos(π) − (−cos(0)) = 1 + 1 = 2。解析解，精确值 2。

例 3∫₀¹ eˣ dx

原函数 F(x) = eˣ。F(1) − F(0) = e − 1 ≈ 1.71828182846。解析解，精确值 e − 1。

例 4∫₁² 1/x dx

原函数 F(x) = ln(x)。F(2) − F(1) = ln(2) − ln(1) = ln(2) ≈ 0.693147181。解析解，精确值 ln 2。

例 5∫₁^e ln(x) dx（数值路径）

ln(x) 的原函数 x·ln(x) − x 在本工具的支持范围之外，自动切换 Simpson 数值积分。数值结果 ≈ 1（精确值同样为 1，因为 ∫₁ᵉ ln(x) dx = [x·ln(x) − x]₁ᵉ = (e·1 − e) − (1·0 − 1) = 1）。

注意事项

  • 解析路径与数值路径的区别：解析路径给出原函数表达式与精确值，数值路径只给近似值但适用范围更广。本工具优先尝试解析，失败时自动切换数值，无需手动选择。

  • 积分上限可以小于下限：∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx，工具会自动处理符号。

  • 被积函数在积分区间内有奇点（如 ∫₀¹ 1/x dx 在 x = 0 处发散）时，数值积分可能不准确或报错——这是数学上的广义积分，需要特殊处理。

  • 常数 pi 和 e 可以作为上下限：如 ∫₀^π sin(x) dx 中上限填 pi，∫₁^e 1/x dx 中上限填 e。

  • Simpson 数值积分的精度取决于区间分段数——本工具自适应加密（2000 段起步，不够则加密到 8000 段），通常精度可达小数点后 8 位以上。

  • 定积分的结果是一个数，不定积分的结果是一族函数（差一个常数 C）。本工具只计算定积分。

常见问题

不定积分求的是原函数 F(x)（满足 F′(x) = f(x)），结果是一族函数，差一个常数 C。定积分求的是一个数——曲线下的面积，结果由上下限决定。本工具专注于定积分，但解析路径会给出原函数表达式作为中间步骤。

微积分基本定理的核心：∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)，其中 F 是 f 的任意一个原函数。它把求面积（积分）的问题转化为求原函数再代入上下限的问题，极大简化了计算。本工具的解析路径就是基于这个公式。

并非所有连续函数都有初等原函数。e^(−x²)（正态分布的核心）、sin(x)/x（信号处理）、ln(x)/x 等常见函数的原函数无法用初等函数（多项式、三角、指数、对数及其复合）表示。这是数学定理（刘维尔定理）证明的，不是工具能力不足。本工具遇到这种情况会自动切换数值积分。

把积分区间分成偶数个小段，每段用抛物线（二次多项式）逼近曲线，然后求抛物线下的面积。相比用矩形逼近的梯形法，抛物线逼近精度更高。本工具自适应加密：先分 2000 段算一次，再分 8000 段算一次，两次结果差距小于容差就认为收敛。

可以。∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx——上下限互换会改变符号。几何上相当于面积取负值。工具会自动处理，无需手动调整。

定积分计算的是有向面积：x 轴上方的面积为正，下方为负，最终结果是两者的代数和。例如 ∫₀^(2π) sin(x) dx = 0，因为前半段（0 到 π）的正面积与后半段（π 到 2π）的负面积恰好抵消。

pi 是圆周率 π ≈ 3.14159265，e 是自然对数的底 ≈ 2.718281828。在积分上下限中填 pi 或 e，工具会按对应的数值计算。例如 ∫₀^π sin(x) dx 表示从 0 积分到 π。

∫u dv = uv − ∫v du，用于「两类函数相乘」：幂×指数（xeˣ）、幂×三角（x sin x）、幂×对数（ln x）、指数×三角（eˣ sin x，需两次循环解方程）。选 u 的口诀 LIATE——对数、反三角、代数、三角、指数，靠前者优先设为 u。例：∫xeˣdx，u=x、dv=eˣdx → xeˣ−∫eˣdx = (x−1)eˣ+C。选错 u（如把 eˣ 当 u）会越积越繁，立刻回头重选。

盯「复合结构 + 其导数在场」：被积函数里出现 g(x) 且附近恰有 g′(x)，就令 u=g(x)。例：∫2x·cos(x²)dx，x² 的导数 2x 正好在场，u=x² → ∫cos u du = sin(x²)+C。三个经典代换：√(a²−x²) 用 x=a sin t；√(a²+x²) 用 x=a tan t；√(x²−a²) 用 x=a sec t。定积分换元时上下限要同步换（u(a)、u(b)），换完不必代回 x。

区间无穷或被积函数在区间内无界（如 1/√x 在 0 点）的积分叫反常积分，用极限定义：∫₁^∞ dx/x² = lim(b→∞)[−1/x]₁ᵇ = 1，收敛；而 ∫₁^∞ dx/x 发散（ln b→∞）。p 判别法：∫₁^∞ dx/xᵖ 当 p>1 收敛、p≤1 发散。概率论里指数分布、柯西分布（期望不存在的根源就是 |x|/(1+x²) 的反常积分发散）都建立在反常积分之上。

定积分就是黎曼和的极限：把 [a,b] 切成 n 段，每段取一点 ξᵢ 做函数值乘宽度 f(ξᵢ)Δx 求和，n→∞ 时（且最大段宽→0）极限即 ∫ₐᵇ f(x)dx。左端点、右端点、中点取法在极限下殊途同归。数值积分反过来用：计算机算不出原函数时，用有限 n 的黎曼和逼近——中点法优于端点法，梯形法再进一步，Simpson 法用抛物线拟合精度最高。理解黎曼和就理解了「积分=连续求和」，也理解了 Σ 与 ∫ 这对符号的对应关系。

线性性：∫(αf+βg) = α∫f+β∫g——逐项拆开算，常数提出。区间可加性：∫ₐᵇ+∫ᵦᶜ = ∫ₐᶜ——分段函数（含绝对值 |x−1|）按分段点拆开积分是标准操作。方向约定：∫ₐᵇ = −∫ᵦᵃ（交换上下限变号），∫ₐᵃ=0。组合技巧：算 ∫₋₁¹(|x|+x³)dx，|x| 是偶函数折半翻倍得 2∫₀¹x dx=1，x³ 是奇函数积分为 0，合计 1——对称性 + 线性性让表面复杂的题一行出结果。

参考资料

  1. [1]Wolfram MathWorld：Definite Integral（定积分）
  2. [2]Wikipedia：Numerical integration（数值积分）
  3. [3]Paul Online Math Notes：Integrals（积分）
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凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-05-05

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引用本页

GB/T 7714 格式

Calcton. 定积分计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/integral, 2026-05-05.

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参考来源与更新说明

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最后更新：2026-05-05。

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