导数是什么

导数定义为自变量增量趋于零时，函数增量与自变量增量之比的极限：f′(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) − f(x)]/Δx。直观地说，平均速度是割线斜率，瞬时速度就是切线斜率——把「平均」推到「一瞬间」正是极限的功力。常见求导法则包括幂法则、乘积法则、商法则与链式法则。

导数的应用贯穿科学与工程：驻点（f′ = 0）配合二阶导数判定极大极小，是优化问题的基石；物理中位移的导数是速度、速度的导数是加速度；经济学中边际成本、边际收益就是成本函数、收益函数的导数。可导必连续，连续未必可导（如 |x| 在原点有尖角）。