行列式是什么

二阶行列式 |a b; c d| = ad − bc；三阶以上按拉普拉斯展开或高斯消元化为上三角后取对角线乘积。行列式 det(A) ≠ 0 当且仅当 A 可逆——线性方程组 Ax = b 有唯一解的判据；det(A) = 0 意味着列向量线性相关，方程组要么无解要么无穷多解。

几何直觉最有用：2×2 矩阵的行列式是两个列向量张成平行四边形的有向面积，3×3 是平行六面体体积，绝对值给出「线性变换的面积/体积缩放倍数」，符号表示定向是否翻转。行列式还有乘法性质 det(AB) = det(A)·det(B)，正是「先 A 后 B 的缩放等于两者缩放之积」的代数表达。