多边形内角计算器

多边形内角和公式 (n−2)×180° 的推导很直观：从一个顶点出发引 n−3 条对角线，把多边形分成 n−2 个三角形，每个三角形内角和 180°，合计 (n−2)×180°。

任意凸多边形的外角和恒为 360°（与边数无关！）——沿着边界走一圈，方向总共转过一整圈。由此得正 n 边形每个外角 = 360°/n，每个内角 = 180° − 360°/n。这个「外角和恒定」的性质是判断能否密铺的钥匙。

内角和公式 (n−2)×180° 来自一个朴素的分割：从多边形一个顶点引出 n−3 条对角线，恰好把 n 边形分成 n−2 个三角形，每个三角形内角和 180°，总和即 (n−2)×180°。这个「化归为三角形」的思路是多边形几何的元方法——面积、对角线、剖分问题都沿此路展开。

外角和恒为 360° 则更加深刻：沿多边形边界走一圈，每到一个顶点转过一个外角，回到起点时恰好转完一整圈——与边数无关，与凹凸无关，甚至对曲线也成立（切线转角总和 360°，即旋转切线定理）。机器人路径规划中的「总转角」概念、乌龟爬行（turtle graphics）编程教学，用的都是这个原理。

正多边形内角能否密铺平面，完全由 360° 能否被内角整除决定：仅正三角形（60°）、正方形（90°）、正六边形（120°）三种可单独密铺，这是蜂窝采用六边形（材料最省、力学最优）、地砖多为四方的几何原因。半规则密铺（如正八边形+正方形）则构成更丰富的图样体系，从伊斯兰几何纹样到埃舍尔的版画都是其艺术延伸。