正多边形

正 n 边形可以拆成 n 个以中心为顶点的等腰三角形，面积 = ½ × 周长 × 边心距。内角 = (n−2)×180°÷n，随边数增加而逼近 180°：三角形 60°、正方形 90°、六边形 120°、正十二边形 150°。

蜜蜂最懂这个公式：周长相等时，只有正三角形、正方形、正六边形能无缝铺满平面，其中正六边形面积最大、用料最省——蜂巢的六边形结构是演化出来的最优解。

正多边形的计算只有三个独立量：边数 n、边长 a、以及任选一个半径口径（边心距或外接圆半径），其余量全部由此派生。理解的关键是「中心角」：每条边对圆心张开 360°÷n 的角，把正 n 边形切成 n 个全等等腰三角形，所有公式都是这一个三角形里的三角函数展开。记忆负担因此降到零——不用背面积公式，记住「面积 = 边心距×周长÷2」即可反推一切。

三种半径口径各有工程含义：边心距（内切圆半径）决定「里面能放多大的圆」，机械上对应扳手开口、孔位设计；外接圆半径决定「外面需要多大的圆」，对应棒料下料、圆桌占位；边心距与外接圆半径之比 = cos(π÷n)，n 越大越接近 1，图形越「圆」。正六边形之比 0.866，正十二边形已达 0.966。

密铺是正多边形最重要的分类问题：只有正三角形、正方形、正六边形能单独密铺平面，因为只有它们的内角整除 360°。混合密铺（半正镶嵌）有 8 种，如 4-8-8（正方形加正八边形）常用于地砖拼花、正八边形计算器 的切角施工就是这个图案的单元。自然界则偏爱六边形——蜂巢、玄武岩柱、苯环，本质是「等周最优」的离散解。

测量实务中，正多边形工件很少直接量边长：量对边距（平行边间距离，即两倍边心距）用卡尺最稳，量对角距（对顶点距离，即两倍外接圆半径）用卷尺最快。两个口径都量到还能互检：对边距÷对角距 = cos(π÷n)，与理论值偏差超过 1% 说明工件棱线磨损或测量取了错误的平行面。

正多边形与圆的关系是微积分的源头之一：刘徽的割圆术用正 192 边形得 π≈3.14，阿基米德用正 96 边形夹逼出 3.1408<π<3.1429。边数每翻一倍，多边形与圆的面积误差缩小约 4 倍——这个「二分收敛」规律至今仍是数值计算误差估计的基本模型。想深入圆弧本身，可用 圆计算器 与 弧长计算器。