杨辉三角计算器

Q: 杨辉三角计算器 - 任意行生成与二项式系数的操作步骤是什么？

首先，输入想查看的行号 n（从 0 开始）。 然后，可选填列号 k，单独定位该位置的组合数 C(n,k)。 全程在页面内完成，结果即时更新。

什么是杨辉三角计算器？

杨辉三角（帕斯卡三角）每行首尾是 1，中间每个数等于上一行相邻两数之和，用加法就能生成全部组合数。

第 n 行第 k 个数就是组合数 C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)，也是 (a+b)^n 展开各项的系数。

行号从 0 开始计数：第 0 行是 1，第 2 行是 1,2,1，第 6 行是 1,6,15,20,15,6,1；本工具按此惯例输出。

C(n, k) = n! ÷ (k!·(n-k)!)，递推关系 C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)

n 为行号且从 0 起；0 ≤ k ≤ n；数值随 n 增长极快（第 34 行已超 10^9），超大行建议只查单项。

如何使用杨辉三角计算器

1
输入想查看的行号 n（从 0 开始）。
2
可选填列号 k，单独定位该位置的组合数 C(n,k)。
3
读取整行系数，观察左右对称与逐行递推结构。
4
将系数用于二项式展开、多项选择题的概率计数或组合枚举。

计算示例

例 1例：第 6 行

n=6 → 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1；其中 C(6,2)=15，与公式 6!/(2!·4!)=720/(2·24)=15 一致。

例 2例：二项式展开

(a+b)^4 的系数取第 4 行 1,4,6,4,1，展开为 a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4，不必逐项相乘。

注意事项

行号从 0 起算：日常说「第 3 行」可能指 n=3（1,3,3,1），先确认口径再看数字。
C(n,k) 与 C(n,n-k) 恒相等，查表只需看左半边。
第 n 行全部系数之和等于 2^n（每个组合数累加），可用于快速自检。
n 超过约 60 时数值超出常规整数精度，组合数建议改用对数或高精度工具处理。

常见问题

C(n, k) = n! ÷ (k!·(n-k)!)，递推关系 C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。 n 为行号且从 0 起；0 ≤ k ≤ n；数值随 n 增长极快（第 34 行已超 10^9），超大行建议只查单项。在杨辉三角计算器 - 任意行生成与二项式系数计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

行号从 0 起算：日常说「第 3 行」可能指 n=3（1,3,3,1），先确认口径再看数字；C(n,k) 与 C(n,n-k) 恒相等，查表只需看左半边。其余细节见页面注意事项一节。

例：第 6 行：n=6 → 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1；其中 C(6,2)=15，与公式 6!/(2!·4!)=720/(2·24)=15 一致。

首先，输入想查看的行号 n（从 0 开始）。然后，可选填列号 k，单独定位该位置的组合数 C(n,k)。全程在页面内完成，结果即时更新。

杨辉三角（帕斯卡三角）每行首尾是 1，中间每个数等于上一行相邻两数之和，用加法就能生成全部组合数。

两者同属相关计算链条：排列组合计算器 - 排列组合数/中奖概率在线计算解决的是与之衔接的另一层问题。完成杨辉三角计算器 - 任意行生成与二项式系数计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到排列组合计算器 - 排列组合数/中奖概率在线计算继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

例：二项式展开：(a+b)^4 的系数取第 4 行 1,4,6,4,1，展开为 a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4，不必逐项相乘。

输入想查看的行号 n（从 0 开始）。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

本页杨辉三角计算器 - 任意行生成与二项式系数计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

第 n 行第 k 项就是从 n 个里选 k 个的组合数 C(n,k)。三角的「两数相加得下层数」正对应组合递推式 C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。

(a+b)^n 展开后各项系数恰好是第 n 行：a 的幂从 n 降到 0，b 的幂从 0 升到 n。写展开式时对着行抄系数即可。

抛 n 次硬币恰好 k 次正面的概率是 C(n,k)/2^n；PATH 计数、抽球问题本质都是组合计数，三角是现成的答案表。

中国宋代数学家杨辉 1261 年在《详解九章算法》中记载此表，比帕斯卡（1654 年）早约四百年，故中文世界称杨辉三角。

参考资料

凯文内容作者Calcton 数学编辑组口径审核Calcton 编辑组交叉审核· 内容更新于 2026-05-23

负责 Calcton 的公式核对与内容撰写：每个工具的公式都注明出处，示例数字经过程序复算，健康与判定标准一律采用国际口径。

Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。

参考来源与更新说明

本页公式与判定标准参考以下权威资料：

最后更新：2026-05-23。

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