骰子概率

n 颗公平六面骰共有 6ⁿ 种等可能结果，掷出点数和为 s 的概率 = 和为 s 的组合数 ÷ 6ⁿ。两颗骰子的分布呈对称三角形：和为 7 的组合最多（6 种：1-6、2-5、3-4、4-3、5-2、6-1），概率 6/36 ≈ 16.67%；和为 2 与 12 各只有 1 种，概率 2.78%。这就是大富翁里「7 最容易掷出」的原因。

骰子数增加后分布趋近正态（中心极限定理）：均值 = 3.5n，方差 = 35n/12。3d6 的均值 10.5，落在 9–12 之间的概率约 62.5%。

生成函数是精确计数的优雅工具：单颗骰子的生成函数是 x+x²+…+x⁶，n 颗骰子和为 s 的组合数等于 (x+x²+…+x⁶)ⁿ 展开式中 x^s 的系数。这个「多项式乘法即卷积」的视角，把枚举问题转化为代数运算——计算机正是这样精确算出 10d6 任意点数概率的，而不是模拟掷一百万次。

对称性是检查计算的好帮手：n 颗骰子的和分布关于 3.5n 对称（和为 s 与和为 7n−s 的组合数相同），因为把每颗骰子的点数 x 换成 7−x 是一一映射。所以 2d6 中 6 与 8 同概率、3d6 中 10 与 11 同概率——桌游规则里「10+」和「11−」看似不同实则对称。

中心极限定理在这里来得特别快：3d6 的分布已经相当接近均值为 10.5、标准差约 2.96 的正态分布，误差在个位数百分点内。这正是 DND 属性值用 3d6 而非 1d18 的设计理由——正态分布让平庸属性（9–12）常见、极端属性（3 或 18）珍贵（各约 0.46%），角色差异由此自然分层。