伪逆矩阵计算器
矩阵不可逆时别急着放弃：伪逆给出「最接近逆」的答案，最小二乘、超定方程与机器学习的正规方程都靠它。
什么是伪逆矩阵计算器？
Moore-Penrose 伪逆 A⁺ 是逆矩阵在任意 m×n 矩阵上的推广，满足四条 MP 条件，方阵可逆时 A⁺ = A⁻¹。
超定方程 Ax = b 的最小二乘解为 x = A⁺b；当 A 满列秩时它就是唯一的正规方程解。
满列秩（rank n）：A⁺ = (AᵀA)⁻¹Aᵀ；满行秩（rank m）：A⁺ = Aᵀ(AAᵀ)⁻¹；一般秩亏矩阵经 SVD 定义 A⁺ = VΣ⁺Uᵀ
本工具对 m≥n 用满列秩公式、m<n 用满行秩公式，要求对应 Gram 矩阵非奇异；秩亏矩阵请用 SVD 口径。
如何使用伪逆矩阵计算器
- 1
选择矩阵尺寸并逐格输入元素（支持 2×2、2×3、3×2、3×3）。
- 2
点击计算，读取伪逆矩阵结果与所用公式分支。
- 3
可选输入向量 b，读取最小二乘解 x = A⁺b。
计算示例
例 1A = [[1,0],[0,1],[1,1]]（3×2 满列秩）
AᵀA = [[2,1],[1,2]]，其逆 = (1/3)[[2,−1],[−1,2]]；A⁺ = (AᵀA)⁻¹Aᵀ = [[2/3,−1/3,1/3],[−1/3,2/3,1/3]]。验证 AA⁺A = A 与 A⁺AA⁺ = A⁺ 均成立。对 b=(1,2,2)，最小二乘解 x = A⁺b = (1, 4/3)。
注意事项
伪逆是四种 MP 性质的唯一解，但数值上病态 Gram 矩阵会让结果对输入误差极敏感，必要时先归一化。
满列秩公式等价于正规方程最小二乘，但数值稳定性不如 QR 或 SVD；教学与小矩阵场景够用。
方阵奇异时 (AᵀA)⁻¹ 不存在，工具会提示改用 SVD 口径；手算可先做初等行变换判断秩。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-06-06
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 伪逆矩阵计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/pseudoinverse, 2026-06-06.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-06-06。
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