空间距离计算器

三维欧氏距离公式 d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²) 是勾股定理的两次嵌套：先在 XY 平面求投影距离 √(Δx² + Δy²)，再把这个投影与高度差 Δz 构成第二个直角三角形。n 维空间的推广形式依此类推，全部统一为「各维坐标差平方和的平方根」。

工程与科学中的距离几乎都是三维的：无人机航点间距、机器人臂末端定位误差、分子动力学中原子间距、游戏开发里角色与目标的直线距离。本工具同时输出 XY 平面投影距离——在 GIS 与测绘中，投影距离（水平距）与空间距离（斜距）的配合可以反推高差与坡度。

注意「直线距离」不等于「路径距离」：城市驾车要走街区（曼哈顿距离），爬山要沿等高线（测地距离），飞行受空域限制。三维欧氏距离是这一切的理论下限。

三维距离公式可以「看」出来：先在 xy 平面内用一次勾股定理得到底面对角线 √(Δx²+Δy²)，这条对角线与竖直高度 Δz 又构成直角三角形，再用一次勾股定理即得体对角线。两次勾股合成一个公式，平方项直接相加——这就是高维欧氏几何「维度可叠加」的根源。

三维距离与向量模长是同一概念的两种表述：向量 PQ→ = Q − P 的模长 ‖PQ→‖ 就是 P 到 Q 的距离。这个等价关系让「距离」进入线性代数体系——单位化、投影、夹角（点积）都建立在模长之上，机器学习中的欧氏距离、kNN 分类、聚类都源于此。