奇异值分解计算器
任何矩阵都能拆成「旋转-缩放-旋转」三步，缩放的那两个系数就是奇异值 σ₁≥σ₂。它们是 AᵀA 特征值的平方根，衡量矩阵在两个正交方向上的最大拉伸倍率。图像压缩保留大奇异值、PCA 降维舍弃小奇异值，本质都是：奇异值小的方向信息量少。2×2 矩阵的 SVD 可以精确手算，是理解这一分解的最佳入口。
什么是奇异值分解计算器？
奇异值恒非负，按从大到小排列：σ₁≥σ₂≥0。
σ₁/σ₂ 是矩阵的条件数，比值越大矩阵越「病态」，解方程误差放大越严重。
σ₂=0 时矩阵降秩，变换把平面压成一条线；两奇异值均为 0 则压成原点。
σ₁,₂ = √λ₁,₂，其中 λ 为 AᵀA 的特征值：λ = [T ± √(T² − 4D)]/2，T = a²+b²+c²+d²，D = (ad − bc)²
a b c d 为 2×2 矩阵按行排列的四个元素；T 是 AᵀA 的迹，D=(ad−bc)² 是其行列式，恒非负故特征值必为实数。
如何使用奇异值分解计算器
- 1
输入矩阵的四个元素（按行）
- 2
查看奇异值 σ₁ σ₂ 与条件数
- 3
根据 σ₂ 是否为零判断满秩或降秩
- 4
条件数大于 1000 时该矩阵参与的数值计算需谨慎
计算示例
例 1矩阵 [[1,2],[3,4]]
AᵀA=[[10,14],[14,20]]，特征值 29.866 与 0.134；奇异值 σ₁≈5.465、σ₂≈0.366；条件数≈14.93。
例 2对角矩阵 [[3,0],[0,4]]
AᵀA 为对角阵 [[9,0],[0,16]]；奇异值 σ₁=4、σ₂=3；条件数 4/3≈1.33，方向良好。
注意事项
奇异值不是特征值：σ=√λ(AᵀA)，仅当矩阵为对称半正定时两者才相等。
非方阵（如 2×3）也有 SVD，但本工具仅支持 2×2 方阵。
条件数接近无穷（σ₂=0）时矩阵不可逆，方程组可能无解或有无穷多解。
手工验证：σ₁·σ₂ 应等于 |det A|，本例 5.465×0.366≈2=|1×4−2×3|。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-06-04
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Calcton. 奇异值分解计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/svd, 2026-06-04.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-06-04。
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