完全立方数判定器

完全立方数是能表示为整数立方的数：…, −125, −64, −27, −8, −1, 0, 1, 8, 27, 64, 125, …。与平方数不同，立方数可以为负（负数的立方仍是负数），所以判定范围覆盖全体整数。判定方法同样是开立方取整再立方验证。

立方数的个位没有平方数那样强的限制——0–9 都可能出现，但存在有趣的对应：n 与 n³ 的个位恒相同（0→0, 1→1, 2→8, 3→7, 4→4, 5→5, 6→6, 7→3, 8→2, 9→9），利用这个一一映射可以反推立方根的个位。模 9 立方数只能余 0、1、8，是一个有效的快速筛子。

立方数的故事里站着两位数学巨人：费马大定理的 n=3 情形（两立方数之和不再是立方数，最早被欧拉证明）；拉马努金的出租车数 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³——能用两种方式写成两立方和的最小数。哈代去医院探望拉马努金时随口说出租车号 1729 很无趣，拉马努金立即纠正了他。

完全立方数是能堆成立方体点阵的数量。最富传奇色彩的立方数是 1729——「的士数」：哈代探望病中的拉马努金时提到出租车牌号 1729 很无趣，拉马努金立即反驳「它是最小的能用两种方式表为两立方和的数：1³+12³ = 9³+10³ = 1729」。这类数 Taxicab(2) = 1729，而 Taxicab(3) = 87 539 319 的发现已要靠计算机搜索。

立方数与数论最深的纠葛当属费马大定理的 n = 3 情形：x³ + y³ = z³ 没有正整数解——欧拉 1770 年给出了（略有瑕疵后被补全的）证明。换句话说「两个立方数之和永不等于立方数」，这与勾股数（两平方和可为平方）形成鲜明对比。判定立方数时数字根筛（只留 1、8、9）比平方数筛更窄，配合「底数个位与立方个位一一对应」表还能反推底数。可配合立方根计算器与n 次方根计算器做对照练习。