叉积计算器

叉积（Cross Product，向量积）仅定义在三维：A×B = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)。结果是一个新向量，方向垂直于 A、B 所在平面（右手定则：四指从 A 转向 B，拇指指向即方向），模长 |A×B| = |A||B|sinθ——恰好等于以 A、B 为邻边的平行四边形面积。

A=(1,0,0)、B=(0,1,0)：A×B = (0, 0, 1)——x 轴叉 y 轴得 z 轴，这正是右手坐标系的定义关系。交换次序 B×A = (0,0,−1) = −A×B：叉积反交换，顺序决定方向。计算面积的实例：A=(1,2,3)、B=(4,5,6)，A×B = (−3, 6, −3)，模长 = √54 ≈ 7.35，即两向量张成的平行四边形面积。

叉积的三大物理/工程角色：力矩 τ = r×F（扳手拧螺丝，力臂与力的叉积，方向沿转轴）、角动量 L = r×p、洛伦兹力 F = qv×B（磁场中电荷偏转）。图形学里求多边形法向量（光照计算的前提）也是叉积——三角形两条边一叉，垂直于面的方向就有了。

叉积是为三维世界量身定做的运算。给定两个不平行的向量，它们张成一个平面，叉积给出这个平面的法向量——方向由右手定则确定：四指从 A 弯向 B，拇指指向即为 A×B 的方向。这个「从两个方向生成第三个正交方向」的能力，让它成为描述旋转、力矩、角动量的唯一自然语言。

叉积的模长有漂亮的几何意义：恰好等于两向量张成的平行四边形面积。由此推出三角形面积 = |A×B| ÷ 2，三维图形学计算多边形面积、判断三角形朝向（正面还是背面剔除）、生成每个顶点的法线，全都依赖这一性质。可以说没有叉积就没有现代 3D 渲染管线。