辛普森法则计算器
输入函数、区间与分段数（偶数），用辛普森 1-4-2-…-4-1 法则计算高精度积分近似。
什么是辛普森法则计算器？
辛普森法则把相邻两段用抛物线（二次插值）拟合：∫f ≈ h/3·[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + fₙ]，n 必须为偶数。系数模式 1-4-2-4-…-2-4-1 是它的指纹。
精度 O(h⁴) 是飞跃：∫₀¹ x² dx 用 n=4 得 0.33333——对三次及以下多项式精确成立！h 减半误差缩为 1/16，工程数值积分（CAD 面积、物理仿真）的默认选择。
辛普森法则的思想是「用抛物线代替直线拟合曲线」：梯形法则在每个小区间用直线连接两端点，辛普森则每两个子区间用一条经过三个采样点的抛物线逼近原曲线，然后精确积分这条抛物线。神奇的是积分结果只与三个点的函数值有关，权重恰为 1:4:1——这是 1743 年托马斯·辛普森系统化的优美结果（方法本身牛顿时代已知）。
辛普森法则最惊人的性质是「三阶精度」：虽然只用了抛物线（二次多项式）拟合，但对三次多项式也精确成立——误差项中三次项的积分恰好正负抵消。这使得它的误差阶达到 O(h⁴)，步长减半误差缩小 16 倍。实践中 n 翻倍后若结果变化小于容差即可停机（Richardson 外推还能再榨出两阶精度），这就是自适应积分器的工作原理。
使用辛普森法则的硬性约束是子区间数 n 必须为偶数（每两个子区间配一条抛物线）。如果被积函数有尖点、间断或剧烈震荡，低阶方法反而更稳——抛物线拟合在不光滑处会产生过冲（龙格现象的近亲）。对于光滑函数，辛普森法则是「成本-精度」比最高的入门选择；对于高精度需求，高斯求积或自适应辛普森（MATLAB 的 integral、Python scipy 的 quad 内核）是工业标准。
Sₙ = h/3·[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 2fₙ₋₂ + 4fₙ₋₁ + fₙ]；误差 ≈ −(b−a)h⁴f⁗(ξ)/180 = O(h⁴)。
示例：∫₀¹ 1/(1+x²)dx（真值 π/4≈0.785398）取 n=2（h=0.5）：S=0.5/3×[f(0)+4f(0.5)+f(1)]=(1/6)×[1+4×0.8+0.5]=(1/6)×4.7≈0.783333，误差仅 0.002——两个子区间已达三位精度，梯形法则需约 20 个区间。
| 方法 | 代数精度 | 误差阶 | n=4 时的误差量级 |
|---|---|---|---|
| 矩形法 | 0 次（常数） | O(h) | 约 1e-1 |
| 梯形法则 | 1 次（线性） | O(h²) | 约 1e-2 |
| 辛普森法则 | 3 次（立方） | O(h⁴) | 约 1e-5 |
| 高斯求积（n 点） | 2n−1 次 | 指数级（光滑函数） | 2 点即达 1e-4 |
如何使用辛普森法则计算器
- 1
选择预设函数，输入积分区间 [a,b]。
- 2
输入分段数 n（偶数）。
- 3
点击「计算」，查看积分近似值与梯形法则对比。
计算示例
例 1∫₀¹ x² dx，n = 4
S₄ = (0.25/3)×(0 + 4×0.0625 + 2×0.25 + 4×0.5625 + 1) = (1/12)×4 = 0.333333——恰好等于精确值！
例 2∫₀^π sin(x) dx，n = 4
S₄ ≈ 2.00456；精确值 2；误差仅 0.23%——同样 4 段的梯形法则误差 3.5%，精度差 15 倍。
例 3例 1：手算 π 的近似值
∫₀¹ 4/(1+x²)dx=π。n=4（h=0.25）：f(0)=4、f(0.25)≈3.7647、f(0.5)=3.2、f(0.75)≈2.56、f(1)=2。S=0.25/3×[4+4×3.7647+2×3.2+4×2.56+2]=(1/12)×37.6933≈3.1411。四个子区间就把 π 逼近到小数点后 2 位——辛普森法则的效率可见一斑。
例 4例 2：误差阶的实验验证
对 ∫₀¹ eˣdx 分别取 n=2 和 n=4：S₂≈1.71886（误差 5.8e-4）、S₄≈1.71832（误差 3.7e-5）。步长减半，误差比约 5.8e-4/3.7e-5≈15.7≈16=2⁴，完美验证 O(h⁴)。这个「加密一倍看误差比」的实验是验证任何数值积分代码正确性的标准自检。
例 5例 3：工程应用——船体排水量估算
船舶设计中，沿船长方向测若干横截面积 A(x)，排水体积 ∫A(x)dx 常用辛普森法则手算——船体曲线光滑，天然适合抛物线拟合。造船业称其为「辛氏法」，19 世纪就是船厂标准工具，至今仍是快速估算的看家本领。
注意事项
n 必须为偶数（两段一组配抛物线）。
对三次多项式精确成立——比「抛物线拟合」的表面印象多一阶。
奇点或剧烈振荡函数需先分段处理。
复合辛普森 + 自适应加密是现代积分库（QUADPACK）的核心。
n 必须是偶数，这是抛物线两两配对的结构性要求。手头数据点是奇数个区间时，最后一小段退回梯形法（混合方案），或者改用 3/8 辛普森法则（每三个区间用三次多项式，权重 1:3:3:1）。
端点函数值异常（奇异点、无穷大）会让整个公式失效。对 ∫₀¹ 1/√x dx 这类可积奇点，先做变量替换（x=t²）消去奇异性再积分，或者使用专门的奇异积分公式。
步长减半时辛普森误差缩小约 16 倍——利用这一点做 Richardson 外推：I≈S₂ₙ+(S₂ₙ−Sₙ)/15，几乎零成本再提两阶精度。Romberg 积分就是把这个外推系统化的结果。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-04-29
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-04-29。
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