梯形法则计算器

梯形法则把积分区间 n 等分，每段用梯形面积近似曲边梯形：∫f ≈ h/2·[f(x₀) + 2f(x₁) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]，h = (b−a)/n。思想朴素：曲线局部用弦代替。

∫₀¹ x² dx 用 n=4：h=0.25，T = 0.125×(0 + 2×0.0625 + 2×0.25 + 2×0.5625 + 1) = 0.34375（精确值 1/3）。误差 O(h²)——分段翻倍，误差缩为 1/4。

梯形法则用最朴素的思想逼近定积分：把每个子区间上的曲线弧段用连接两端点的直线（弦）代替，曲边梯形就变成真正的梯形，面积 (h/2)·[f(xᵢ)+f(xᵢ₊₁)] 一目了然。把所有小梯形相加，端点只出现一次、中间点各出现两次，就是公式 Tₙ = h/2·[f₀ + 2(f₁+…+f_{n−1}) + fₙ] 中那个「1, 2, 2, …, 2, 1」权重图案的由来。

误差结构是梯形法则最优雅的部分：对光滑函数，误差 ≈ −(b−a)h²f″(ξ)/12，与 h² 成正比——步长减半，误差约缩为四分之一。更惊人的是欧拉-麦克劳林公式揭示：对周期性光滑函数，梯形法则的误差可以达到指数级收敛，远超多项式法则，这也是频谱方法与傅里叶分析中梯形求积一统天下的理论根源。

工程实践中梯形法则常与理查森外推配合：用 T(h) 与 T(h/2) 线性组合消去 h² 项，一步得到 O(h⁴) 精度——这正是龙贝格积分的第一层。与 辛普森法则 相比，梯形法则对震荡函数与周期函数反而更稳健；对给数据表（无解析式）求积分的场景，梯形法则因只用相邻两点而成为唯一可行的选择。