矩阵条件数计算器
条件数衡量一个矩阵有多接近奇异：解方程组 Ax = b 时，输入数据的微小扰动会被放大多少倍，就取决于条件数。条件数越大，数值求解越不可靠。这个计算器对 2 阶矩阵给出三种常用范数下的条件数，并直接给出病态程度的判读。
什么是矩阵条件数计算器？
条件数定义为 κ(A) = ‖A‖ × ‖A⁻¹‖，范数取不同种类得到不同结果：无穷范数取各行绝对值之和的最大值，1 范数取各列绝对值之和的最大值。
谱条件数 κ₂ = σmax/σmin 用奇异值之比，是理论上最受认可的度量；正交矩阵的 κ₂ = 1（最理想）。
计算器同时算出逆矩阵与行列式。经验判读：κ < 10 良好，10 到 10³ 可接受，10³ 到 10⁶ 需谨慎，> 10⁶ 视为病态。
κ(A) = ‖A‖ · ‖A⁻¹‖，κ₂ = σmax ÷ σmin
2 阶矩阵逆为 [d −b; −c a]/det，谱条件数由 AᵀA 特征值开方得到。判读区间按双精度浮点的经验值给出。
如何使用矩阵条件数计算器
- 1
输入 2 阶矩阵的四个元素 a、b、c、d。
- 2
点击计算，查看行列式与逆矩阵。
- 3
读取 κ∞、κ₁、κ₂ 三个条件数。
- 4
按判读区间确认矩阵是否病态。
计算示例
例 1温和矩阵
A = [[1,2],[3,4]]：det = −2，‖A‖∞ = 7，‖A⁻¹‖∞ = 3，κ∞ = κ₁ = 21，κ₂ ≈ 14.93，属于良好范围。
例 2接近奇异的矩阵
A = [[1,1],[1,1.0001]]：det ≈ 0.0001，条件数高达数万级，方程组解对输入误差极其敏感，应改用双精度或正则化方法。
注意事项
条件数只对可逆矩阵有定义；det 为 0 时矩阵奇异，条件数为无穷大。
三种范数给出的数值不同但量级一致，比较两个矩阵的相对好坏时选同一个范数即可。
谱条件数 κ₂ ≤ κ∞；κ₂ 是对扰动最敏感方向上的放大率，理论最优。
条件数放大的是相对误差：解的相对误差 ≈ 输入相对误差 × κ，双精度下 κ 超过 10¹⁶ 时有效数字全部丢失。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-06-05
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Calcton. 矩阵条件数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/condition-number, 2026-06-05.
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最后更新：2026-06-05。
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