样本量计算器

**样本量是精度与成本的平衡点。** 调查想测得准，样本就要大；样本越大，成本越高。样本量公式把「想要的精度」翻译成具体人数：给定置信度 z、预估比例 p 与可容忍误差 e，所需样本量 n = z²·p(1−p) ÷ e²。比例取 50% 时 p(1−p) 最大、所需样本最多，是不知道比例时的保守默认。

**95% 置信度 ±5% 误差对应 385 人**（z=1.9600，n₀=384.15 向上取整），这是民调与质检中最常见的规格；±3% 误差需要 1,068 人（精确值 1067.07，常被误引为 1067——1,067 人的实际误差是 3.0007%，略微超标）。误差减半，样本量约变为四倍，精度与成本是平方关系。

**总体不大时要打「有限总体校正」折扣。** 当样本占总体的比例不可忽略（经验阈值约 5%），公式 n = n₀ ÷ (1 + (n₀−1)/N) 会显著下调所需人数——全校 1,000 名学生做 ±5% 调查只需 278 人而不是 385 人，节省 107 人的访问成本。样本量超过总体时本工具直接提示普查。

**均值口径用小样本 t 临界值迭代。** 估计均值所需样本量 n = (t·σ ÷ e)²，其中 t 的自由度取决于 n 本身，需要迭代求解：先用 z 起步，再代入 t 分布修正，通常两三轮收敛。σ=8、允许误差 ±2 时，z 口径给出 62 人，t 修正后是 64 人——小样本直接套 z 会低估。t 分布与 z 分数的关系见 Z 分数计算器，σ 的估计方法见 标准差计算器。

**算完样本量，还要会读置信区间。** 收集到 x/n 的阳性结果后，Wilson 得分法给出的区间在小样本与极端比例下依然可靠（8/10 的 95% 区间是 [49.02%, 94.33%]），而教科书常见的 Wald 法（p̂ ± z·√(p̂q̂/n)）此时上界会超出 100%。本工具置信区间模式默认 Wilson 并附 Wald 对照，误差范围模式按已有样本量反查精度并附六档规模对照梯。

样本量公式的直觉是：估计精度取决于样本的绝对大小而非占总体比例。100 万人口的城市和 1 亿人口的国家，要达到 ±3% 的民调精度都只需要约 1067 个随机样本——这正是现代民调可行的数学基础。有限总体修正（FPC）只在样本超过总体 5% 时才显著缩小所需样本量。

估计均值与估计比例用不同公式：比例问题用最保守的 p=0.5（方差最大）得到 n=(Zσ/E)² 的特例 n=Z²·0.25/E²；均值问题需要先验的 σ 估计（ pilot 调查或历史数据），二分类比例问题的样本量通常比均值问题更大。比较两组差异（A/B 测试）时，每组样本量要再乘 2，且对最小可检测效应 δ 的平方成反比——想把检测灵敏度提高一倍，样本量要翻两番。