素数间隙计算器

素数间隙是相邻素数之差。素数越稀疏间隙越大：100 以内最大间隙为 8（89→97），1000 以内最大为 20。平均间隙约 ln(n)——素数定理的直接推论。

间隙研究连接着数论两大猜想：孪生素数猜想（间隙 2 出现无穷多次）与克拉梅尔猜想（间隙不超过 ln²p）。张益唐 2013 年证明了有界间隙（≤7000 万，后改进到 246）——本世纪数论最轰动的突破。

素数间隙研究的是素数分布的「呼吸节奏」：素数定理给出平均间隙 ln(n)，但实际间隙围绕均值剧烈波动——既有孪生素数那样的最小间隙 2，也有任意长的连续合数段。构造性证明极其直白：n!+2, n!+3, …, n!+n 是 n−1 个连续合数（n!+k 被 k 整除），所以间隙可以任意大。平均与极值的巨大落差，正是素数「确定性中的随机性」的缩影。

间隙的下端连着最著名的未解之谜：孪生素数猜想断言间隙 2 出现无穷多次。2013 年张益唐证明存在无穷多对间隙不超过 7000 万的素数，Polymath8 项目把这个界压缩到 246——从「无界」到「有界」是世纪性突破，从 246 到 2 仍是深渊。上端方面，Cramér 随机模型预测最大间隙约 ln²(n)，与实测惊人吻合，但证明遥不可及。

间隙的统计分析已经工程化：「merit」指标 g/ln(p) 衡量间隙相对于局部均值的异常程度，已知最大 merit 约 41.9（间隙 1550 出现在 10¹⁵ 量级）；素数间隙的完整记录由社区计算的 GIMPS/PrimeGrid 等分布式项目维护。想亲手观察间隙分布，可先用素数检验工具扫描区间，再统计相邻差值。