等比数列计算器
输入首项、公比与项数，计算等比数列第 n 项与前 n 项和，支持分数与负公比。
什么是等比数列计算器？
等比数列相邻两项之比恒定（公比 q）。通项 an = a₁·q^(n−1)，前 n 项和 Sn = a₁(q^n − 1)/(q − 1)（q≠1）。2、6、18、54……q = 3：a₅ = 2×3⁴ = 162，S₅ = 2×(243−1)/2 = 242。
等比中项：三数 a、b、c 成等比 ⇔ b² = ac（b 是 a、c 的几何平均）。复利、人口增长、病毒传播、放射性衰变——一切「按固定比率变化」的现象都是等比数列。
等比数列是「指数增长」的离散骨架：固定比率 q 的连乘让每一项都是前一项的放大版——细胞分裂（q=2）、复利滚存（q=1+r）、放射性衰变（q=1/2 每半衰期）全是同一结构的不同外衣。判断一个现象是否等比，只需看「单位步长的相对变化率」是否恒定：银行利息之所以最终碾压单利，正是因为本金的每一步增量都按同一比率自我复制。与等差数列计算器的「加法世界」对照，等比是「乘法世界」的公民。
求和公式 Sn=a₁(qⁿ−1)/(q−1) 的推导是数学课上最优雅的错位相消：写出 S 与 qS 两行，错位相减后中间项全部消失，只剩首尾——同一个「错位相消」思想后来长成了望远镜级数的通用武器（见望远镜和计算器）。q=1 时公式分母为零失效，但极限意义下它无缝衔接：lim(q→1) (qⁿ−1)/(q−1)=n（洛必达或等差直算），常数列正是等差与等比的交汇点。
无穷等比级数的收敛条件 |q|<1 给数学史贡献了第一批「无限而有界」的实例：芝诺悖论中阿基里斯追乌龟的无限段时间和 1/2+1/4+1/8+…=1 正是 q=1/2 的等比级数——悖论在现代分析中的消解，本质就是「无限项之和可以有限」这一洞察。今天它仍在工程里服役：几何分布的期望、垂悬索的振动模态、数字滤波器的冲激响应、货币乘数 1/(1−c)（c 为边际消费倾向）都是等比级数的化名。
an = a₁·q^(n−1)；Sn = a₁(q^n − 1)/(q − 1)（q ≠ 1）；q = 1 时 Sn = n·a₁；等比中项 b = √(ac)。
示例：a₁=3, q=2, n=5：a₅=3×2⁴=48；S₅=3×(2⁵−1)/(2−1)=3×31=93。逐项验证：3+6+12+24+48=93 ✓。|q|<1 时无穷和存在：a₁=1, q=1/2 则 S∞=1/(1−1/2)=2。
| 对象 | 公式 | 条件 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 通项 | an = a₁·q^(n−1) | 任意 q≠0 | 3, 6, 12, 24, … |
| 前 n 项和 | Sn = a₁(qⁿ−1)/(q−1) | q≠1 | S₅ = 93 |
| q=1 特例 | Sn = n·a₁ | 常数列 | 5+5+5 = 15 |
| 无穷和 | S∞ = a₁/(1−q) | |q|<1 | 1+1/2+1/4+… = 2 |
| 等比中项 | G = √(ab) | a,b>0 | √(4×9)=6 |
如何使用等比数列计算器
- 1
输入首项 a₁ 与公比 q。
- 2
输入项数 n。
- 3
点击「计算」，查看第 n 项与前 n 项和。
计算示例
例 1a₁ = 2，q = 3，n = 5
a₅ = 2×3⁴ = 162；S₅ = 2×(3⁵−1)/(3−1) = 242。验证：2+6+18+54+162 = 242 ✓
例 2复利模型：本金 10000，年利率 5%，10 年
a₁₀ = 10000×1.05¹⁰ ≈ 16288.95 元——等比数列是复利计算的数学骨架。
例 3复利即等比
本金 10000，年利率 5%，5 年后 = 10000×1.05⁵≈12762.8。总利息 2762.8——其中「利滚利」贡献的部分正是等比求和与等差求和（单利 2500）之差 262.8。可用复利计算器验证。
例 4棋盘麦粒问题
a₁=1, q=2，64 格总和 = 2⁶⁴−1≈1.84×10¹⁹ 粒。按全球年产小麦 7 亿吨计，约需 800 年——指数增长「前期温吞、后期爆炸」的经典寓言：第 32 格才 21 亿粒，第 64 格单格就是 9.2×10¹⁸。
例 5无穷级数求循环小数
0.333…=3/10+3/100+3/1000+…，a₁=0.3, q=0.1，S∞=0.3/(1−0.1)=1/3——循环小数化分数的通用方法，与循环小数计算器同源。
注意事项
q = 1 时求和公式分母为 0，直接用 Sn = n·a₁。
q < 0 时数列正负交替（摆动数列），公式依然成立。
|q| < 1 时无穷项和收敛：S = a₁/(1−q)。
q 为分数时 an 趋近 0，这就是「一尺之棰，日取其半」的极限思想。
q 的符号改变一切：q<0 时数列正负交替（如 1, −2, 4, −8），求和公式照旧但无穷和仍需 |q|<1——交替级数的振荡不影响绝对收敛判定。
q=1 是公式奇点而非数学奇点：直接用 Sn=n·a₁；编程实现时切忌不判 q≠1 就套分式，会触发除零。
等比中项 √(ab) 只对正数成立：负数情境下「中项」需带符号讨论（−4 与 −9 的等比中项是 −6），盲目开方会丢失符号信息。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-04-30
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Calcton. 等比数列计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/geometric-progression, 2026-04-30.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-04-30。
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