Carmichael-Numbers-Rechner

原理：卡迈克尔数是合数 n，却对一切整数 a 满足 aⁿ ≡ a (mod n)——它们会骗过费马素性检验，是「伪素数之王」。Korselt 判据（1899）给出等价刻画：n 是合数、无平方因子，且对 n 的每个素因子 p 都有 (p − 1) | (n − 1)。最小卡迈克尔数 561 = 3 × 11 × 17（2 | 560、10 | 560、16 | 560），由 Carmichael 于 1910 年发现；1729 = 7 × 13 × 19 则是它 TAXI 数身份之外的另一顶桂冠。Alford、Granville 与 Pomerance 于 1994 年证明卡迈克尔数有无穷多个。

步骤：输入 n 得到 Korselt 判定与素因数分解；再输入上限枚举区间内全部卡迈克尔数。

示例：561 = 3 × 11 × 17，判定为卡迈克尔数；1729 = 7 × 13 × 19；10⁴ 以内共 7 个（561、1105、1729、2465、2821、6601、8911），10⁵ 以内共 16 个，最大为 75361。

注意事项：判定范围上限 10⁹（试除分解在此范围内瞬间完成）；枚举上限限制在 20000 以内以保证页面响应——10⁵ 以内 16 个的完整清单为 561、1105、1729、2465、2821、6601、8911、10585、15841、29341、41041、46657、52633、62745、63973、75361。偶数与平方因子数可直接排除。

相关：561 分解 3 × 11 × 17；1729 分解 7 × 13 × 19；7 个（≤ 10⁴）、16 个（≤ 10⁵）。