Cochleoid-Rechner

原理：蜗牛线（cochleoid，「蜗牛形曲线」）的极方程为 r = a·sin θ / θ。θ → 0 时 r → a（曲线在极轴上有尖点），θ 每增加 π 曲线绕极点一圈并按 1/θ 收缩，形成层层嵌套的蜗牛壳。全曲线总面积为 A = (a²/4)·∫₀^∞ (sin t / t)² · 2 dt / 2 = πa²/4，其核心是狄利克雷姊妹积分 ∫₀^∞ (sin x / x)² dx = π/2。第一圈（θ ∈ [0, π]）面积约为总面积的 90.6%。

步骤：输入尺度参数 a 与极角 θ，得到该方向极径、第一圈面积与总面积。

示例：a = 1、θ = π/2 时 r = 0.636619772368（即 2/π ≈ 0.636619772368）；第一圈面积 = 0.709075788066；总面积 = 0.785398163397（理论 π/4 ≈ 0.785398163397）。

注意事项：θ = 0 处按极限返回 r = a；曲线在 θ = kπ（k 为非零整数）处穿过极点。面积用 200 段复合高斯求积计算有限区间，无穷积分按截断加补偿处理。蜗牛线与割圆曲线（quadratrix）同形，古希腊人曾用它化圆为方——总面积 πa²/4 正好是半径 a 圆面积的 1/4，倍积关系一目了然。

相关：r(π/2) = 0.636619772368；第一圈 0.709075788066；总面积 0.785398163397。