Happy-Numbers-Rechner

原理

快乐数：反复把数替换为其各位数字的平方和，最终到达 1（随后恒在 1）。到不了 1 的数必落入唯一的循环 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4——「 unhappy」的判定等价于是否撞进这个 8 元环。这是十进制下的动力学系统，与数位和 类似但更 chaotic。

任何数位平方和都迅速缩小（d 位数最多映射到 81d），因此迭代必然终止：要么到 1、要么入环。1 到 100 共 20 个快乐数；密度随范围缓慢变化（10^6 内约 14.3%）。

使用步骤

① 输入正整数；② 得到判定、步数与完整迭代序列；③ 序列末尾出现 4 即不快乐、出现 1 即快乐。

计算示例

7 → 49 → 97 → 130 → 10 → 1（5 步，快乐）；19 → 82 → 68 → 100 → 1（4 步）；4 直接进入循环（不快乐）；100 以内快乐数恰好 20 个：1、7、10、13、19、23、28、31、32、44、49、68、70、79、82、86、91、94、97、100。

注意事项

快乐性依赖于进制：十进制下的快乐数在二进制里完全不同（二进制每位平方和即位数，全部数都快乐）。1 本身步数为 0；重复数字如 11 → 2 → 4 不快乐。

常见问题

Q：为什么不快乐数总进同一个环？A：映射把大数压到 243 以内（999…9 → 81×位数），243 以内的像可穷举，所有不归 1 的轨道都被 8 元环捕获。

Q：有「最高兴」的数吗？A：步数最长的记录随位数增长——7 需 5 步、78999 需 20 步左右；用平方和代替立方和（ happy 的推广）环结构会完全改变。