Harmonic-Numbers-Rechner

原理：调和数 Hₙ = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n。它发散，但增长极慢：Hₙ ≈ ln n + γ，其中 γ ≈ 0.5772156649 是欧拉–马歇罗尼常数。加修正项 1/(2n) − 1/(12n²) 后误差在 n = 100 时已小于 10⁻¹⁰。Hₙ 也是黎曼 zeta 函数离散化的出发点，且满足恒等式 Hₙ = ψ(n+1) + γ（ψ 为双伽马函数）。

步骤：输入 n，工具用 Kahan 补偿求和计算 Hₙ 的 12 位小数值，同时给出渐近估计与两者差值；n ≤ 2000 时用 BigInt 逐项通分给出不可约精确分数。

示例：H₄ = 25 / 12 = 2.083333333333；H₁₀ = 7381 / 2520 = 2.928968253968；H₁₀₀ ≈ 5.187377517640；H₁₀₀₀ ≈ 7.485470860550。首个超过 10 的调和数是 H₁₂₃₆₇（H₁₂₃₆₇ ≈ 10.000043008276）。

注意事项：调和级数发散意味着只要耐心累加就能超过任意目标值，但速度是对数级的——从 10 到 100 只需再加大约 ln(100/10) ≈ 2.3 的量；精确分数的分子分母位数随 n 线性增长，n 大于 2000 时工具只给数值；浮点直接累加在 n 很大时会丢低位，Kahan 补偿把误差压到 10⁻¹¹ 量级。

相关：调和级数工具研究发散速率；zeta 函数工具在 s → 1⁺ 时连接 Hₙ 的连续版本（ζ(1) 发散、ζ(2) = π²/6）；调和平均数工具是 1/H 的加权版本；欧拉常数与对数工具给出 γ 的高精度值。